Babilliler, Eski Mısır’daki cebir anlayışından daha ileri giderek, ikinci dereceden denklemler ve doğrusal denklem sistemlerinin çözümleriyle uğraşmışlardır. M.Ö 2000’li yıllarda Babil tabletlerinden alınan ikinci dereceden bir denklem günümüz gösterimleriyle aşağıda ifade edilmiştir.
“Bir karenin alanına, karenin kenar uzunluğunun $frac{2}{3}$’ü eklendiğinde sonuç $frac{35}{60}$ olduğuna göre, karenin kenar uzunluğunu bulunuz?”
Matematiksel gösterimi, $x^{2}+frac{2}{3}x=frac{35}{60}$ olan eşitliğin çözümü aşağıda verilmiştir.
- 2/3’ün yarısını bul: 1/3
- 1/3’ün karesini al: 1/9
- 35/60 ile 1/9’u topla: 25/36
- 25/36’nın karekökünü al: 5/6
- 5/6’dan 1/3’ü çıkar: 3/6
- Sonuç, 1/2’dir
Yukarıdaki çözümden de anlaşılacağı gibi, Babilliler, eski Mısır’da olduğu gibi çözümlerini düz yazı biçiminde yapmışlardır. Ancak yaptıkları çözümlerin oranlama yönteminin yanında geometrik bir düşünce yapısına dayandığı düşünülmektedir. Babilliler’in $x^{2}+frac{2}{3}x=frac{35}{60}$ eşitliğini çözerken kullandıkları geometrik düşünce biçimi Şekil 3’te verilmiştir.
Şekil 3 incelendiğinde, Babillilerin $x^{2}$’yi ifade etmek için x br uzunluklu bir karenin alanını,$frac{2x}{3}$’ü ifade etmek için kenar uzunlukları $frac{1}{3}$ ve x br olan iki adet dikdörtgenin alanını kullandıkları ve kareye tamamlama yolu ile ikinci dereceden denklemleri çözdükleri düşünülmektedir.
M.Ö. 2000-1000’li yıllarda Babilliler ikinci dereceden denklemleri çözmek dışında, $x+y=b ve x.y=c$ (b, c sabitler) şeklindeki denklem sistemlerini de düz yazı formatında ancak geometrik bir düşünce biçimiyle çözmüşlerdir. YBC 4663 kodlu Babil tabletinden alınan eşitliğin günümüz şekliyle ifadesi şu şekildedir.
“İki sayının toplamı $6frac{1}{2}$, çarpımları ise $7frac{1}{2}$ ’dir. Bu sayıları bulunuz?”
Modern gösterimi $x+y=6frac{1}{2}=b$, $x.y=7frac{1}{2}=c$ şeklinde olan denklem sisteminin Babilliler tarafından yapılan çözümü aşağıda verilmiştir:
- Altı tam $frac{1}{2}$’nin yarısını bul: $3frac{1}{4}$
- $3frac{1}{4}$’ün karesini al: $10frac{9}{16}$
- $10frac{9}{16}$’dan $7frac{1}{2}$’yi çıkar:$3frac{1}{6}$
- $3frac{1}{16}$’nın karekökünü bul: $1frac{3}{4}$
- $1frac{3}{4}$’e $3frac{1}{4}$’ü ekle: 5
- $3frac{1}{4}$’ten $1frac{3}{4}$’ü çıkar: $1frac{1}{2}$
- Aranan sayılar 5 ve $1frac{1}{2}$’dir.
Babilliler, modern gösterimi ve şeklinde olan doğrusal denklem sistemlerini çözerken düşündükleri geometrik yol aşağıda açıklanmıştır. Babilliler çözümü yaparken, kare ve dikdörtgenin alanı ve çevresinden faydalanmışlardır.
Şekil 4’de görüldüğü gibi Babillilerin geometrik bir düşünce biçimiyle yaptıkları çözümün modern biçimde ifadesi şu şekildedir: Öncelikle b’nin yarısı alınarak $frac{b}{2}=x-frac{x-y}{2}=y+frac{x-y}{2}$ şeklinde bir eşitliğe ulaşılır. Ardından bu denklemdeki ifade, x ve y birim kenarlı bir dikdörtgen üzerinde gösterilir. y birim uzunluklu kenardan $frac{x-y}{2}$ arttırıp, $x$ birim uzunluklu kenardan kısaltarak, br uzunluktaki kenarlar elde edilir. Yapılan bu işlemler sonucu;
$left ( frac{x+y}{2} right )^{2}=xy+left ( frac{x-y}{2} right )^{2} rightarrow left ( frac{b}{2} right )^{2}=c+left ( frac{x-y}{2} right )^{2} rightarrow sqrt{left ( frac{b}{2} right )^{2}-c }=frac{x-y}{2}$ elde edilir.
Bu eşitlikten de $frac{x-y}{2}$; $x$ ve $y$ cinsinden yazılarak ; $x=frac{b}{2}+sqrt{left ( frac{b}{2} right )^{2}-c}$ ve $y=frac{b}{2}-sqrt{left ( frac{b}{2} right )^{2}-c}$ elde edilir
Denklem sisteminin kökleri olan x ve y’yi bulmak için bulunan bu kural, Babilliler’in yaptıkları sözel çözümde görülebilir. Sonuç olarak, Babillilerin lineer denklem sistemlerini ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri düz yazı formatında ancak geometrik bir düşünce yapısıyla çözdükleri söylenebilir. Bunun yanında, Babilliler, en, boy, alan gibi kavramları içeren cebirsel problemlerle uğraşmışlardır. Sonuçta Babillilerin bilinmeyen olarak geometrik şekillerin kenar uzunluklarını tanımladıkları düşünülebilir.
Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi‘nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER’e ait “CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ” başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.