Matematiğe, en büyük mirası bırakanlardan biri olan ve ‘’Sayıların Babası’’ olarak da bilinen Pisagor milattan önce 570 ile 475 yılları arasında yaşamıştır. Hayatı boyunca matematik, müzik ve astronomi gibi farklı alanlarda çalışmalar yapmıştır. Bu çalışmalar sonucunda, bizlere bıraktığı en büyük mirası, matematiğin temel teoremlerinden biri olan Pisagor teoremidir.
Bir dik üçgenin üç kenarı karelerle çevrilirse…
Büyük karenin alanı, diğer iki karenin alanının toplamına eşit olur.
Pisagor teoremi olarak adlandırılan bu teoremde,
olur.
a² + b² = c²
Pisagor Teoremi Tanımı:
- Dik açılı bir üçgende üçgenin en uzun kenarı “hipotenüs” olarak adlandırılır.
- Dik açılı bir üçgende, hipotenüsün karesi diğer iki kenarın karesi toplamına eşittir. Bu eşitliğe Pisagor teoremi denir.
Haydi Deneyelim!
Üç kenarı karelerle çevrili olan bir dik üçgende, diğer iki karenin alanları toplamının büyük karenin alanları toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bunu bir örnekle ispatlayalım:
Kenar uzunlukları ‘’3-4-5’’ olan bir dik üçgeni ele alalım.
Şimdi de aynı üçgen üzerinde hipotenüsün karesinin diğer iki kenarın uzunluklarının karesi toplamına eşit olup olmadığına bakalım.
Hipotenüs uzunluğu = 5
Diğer kenarların uzunlukları sırasıyla= 3 ve 4
3² + 4² = 5²
9 + 16 = 25
Teoremimizin çalıştığını bu şekilde görmüş olduk.
Şimdide Teoremimizi Formülleştirelim…
- a² + b² = c²
Pisagor Teoremini Bilirsek…
- Herhangi iki kenarı verilen bir dik üçgende üçüncü kenarı bulabiliriz.
- Üç kenarının kenar uzunluğu verilen bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını bulabiliriz.
Örnek 1:
Yandaki üçgende c kenarının uzunluğunu bulunuz.
1.Adım: Önce formülümüzü yazalım
a² + b² = c²
2.Adım: Sorumuzda verilenleri formülde yerine yazalım.
8² + 15² = c²
3.Adım: Kareleri hesaplayalım.
64 + 225 = 289 = c²
4.Adım: c yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
√289 = c
5.Adım: Hesaplamanın sonucunda,
√289 = 17 = c
Örnek 2:
Yandaki üçgende a kenarının uzunluğunu bulunuz.
1.Adım: Önce formülümüzü yazalım.
a² + b² = c²
2.Adım: Sorumuzda verilenleri formülde yerine yazalım.
a² + 12² = 13²
3.Adım: Kareleri hesaplayalım.
a² + 144 = 169
4.Adım: Her iki taraftan 144 çıkartalım.
a² + 144 – 144 = 169 – 144
a² = 169 – 144 = 25
5.Adım: a yı bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
√25 = a
6.Adım: Hesaplamanın sonucunda,
a=5
Örnek 3:
Aşağıdaki dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bulunuz.
1.Adım: Önce formülümüzü yazalım.
a² + b² = c²
2.Adım: Sorumuzda verilenleri formülde yerine yazalım.
1² + 2² = c²
3.Adım: Kareleri hesaplayalım.
1 + 4 = 5 = c²
4.Adım: Her iki tarafın karekökünü alalım.
√5 = c
Örnek 4:
Üç kenar uzunluğu 4,7 ve 9 olarak verilen bir üçgen dik üçgen midir?
Dik üçgen olma şartımızı hatırlayalım!
- Bir üçgenin dik üçgen olabilmesi için Pisagor teoremini sağlaması gerekmektedir.
a² + b² = c² formülünde soru da bize verilenleri yazalım.
4² + 7² = 9² olur mu?
4² + 7² = 16 + 49 = 65
9² = 81 dir.
Yani, 4² + 7² ≠ 9² bu yüzden kenar uzunlukları 4,7 ve 9 olan bir üçgen dik üçgen değildir.
Pisagor’un bizlere bırakmış olduğu bu mirasın yaklaşık 377 tane ispatının olduğunu biliyor muydunuz?
Eğer cevabınız ‘’Hayır’’ ise aşağıda verilen bazı ispat yöntemlerinin videolarını izleyerek sizlerde kolaylıkla uygulayabilirsiniz.
1.KAĞIT KAPLAMA YÖNTEMİ İLE
2.GEOGEBRA İLE PİSAGOR TEOREMİ İSPATI