İslam dünyasına bakıldığında, İslam dünyasının cebir alanındaki en önemli matematik bilgininin 780–847 yılları arasında yaşamış olan Harizmi olduğu söylenebilir. Matematik alanlarından Cebir’in mucidi Harizmi’dir. Sayı sisteminin ilk şeklini Hindistan’dan alarak Arap sayı sistemini geliştirmiştir. Batının ve dolayısıyla bugünün matematiğinin kullandığı sayılar Harizmi’nin sekizinci yüzyılda kullandığı sayıların bir çeşit uyarlamasıdır. Harizmi Hindistan’dan o günün astronomi bilgilerini de Bağdat’a taşıdı. Harizmi “Darül-Hikme’deki ilk dönemlerinde saray çevresine ve tüccarlara dört işlemi içeren aritmetik öğretti. Bunun yanında İslam’a göre miras hukukunu yürütmekte olan kadılara bu konuyla ilgili bazı hesaplamalar öğretti. Özel miras problemlerinin ortaya çıkardığı denklemleri çözme durumunda kalan Harizmi bugünkü bildiğimiz anlamda cebire yönelmiştir. Bu alanda yaptığı çalışmaları, daha sonra matematiğin bir kolu olarak bildiğimiz cebirin adını alacağı “Al KitabFi Hisab Al Cabr wal Muqabalah” adlı kitabında toplamıştır. Kitabı üç bölümden oluşmaktadır. Harizmi kitabının birinci bölümünde cebirsel eşitlikleri çözme sürecini açıklamıştır. Harizmi tüm lineer ve ikinci derecen denklemlerin $ax^{2}=bx$, $ax^{2}=b$, $ax=b$, $ax^{2}+bx=c$, $ax^{2}+c=bx$, $ax^{2}=bx+c$ olacak şekilde altı biçime indirgenebileceğini ifade etmiştir. “Al KitabFi Hisab Al Cabr wal Muqabalah” Rönesans dönemi cebir çalışmaları için en önemli kaynak olmuştur. Buradaki Al Cabr terimi İngilizce ve Fransızcaya algebra olarak geçmiş ve Türkçe’de de cebir olarak kullanılmıştır. Ayrıca Harizmi’nin bu kitapta kullanmış olduğu çözüm yöntemleri ve işlem yönergeleri Arapçada isminin Al Khwarizm olarak telaffuz edilmesi nedeniyle Avrupa’daki matematikçiler Harizmi’nin yöntemleri anlamında “algorithm” deyimini kullanmışlardır.

Harizmi, 825 yılında yazmış olduğu“Al KitabFi Hisab Al Cabr wal Muqabalah” ( Tamamlama ve Dengeleme Yoluyla Hesaplama) isimli kitabında, denklemlerin çözümlerini Babil’de, Euclid’in Eski Yunanında ve Hintlilerde görülmemiş bir şekilde yapmıştır. Harizmi’nin en büyük başarılarından biri, cebiri geometriden kurtarması ve matematiğin bir dalı olarak ortaya koymasıdır. Nitekim geometrik bir düşünce yapısıyla yapılan cebirsel çözümler, Harizmi’den önce vardı. Harizmi, denklemleri “al-jabr” ve “al-muqabala” denilen iki işlem kullanarak çözmüştür. Al-jabr (Cebir) tamamlama anlamına gelmektedir. Bir denklemde negatif terimlerin ortadan kaldırılması işlemini ifade  etmektedir. $3x+2=4-2x$ eşitliğinin $5x+2=4$ olarak yazılması al-jabr ifadesine  karşılık gelmektedir. Aslında Harizminin yaptığı bu işlem günümüz cebir anlayışını yansıtmaktadır. Eşitliğin her iki tarafına $2x$ eklenerek negatif terimlerin yok edilmesi  eşitliğin çözümünü kolaylaştırmaktadır. “Al-muqabala” terimi ise dengeleme anlamına gelmektedir ve denklemin iki tarafında aynı kuvvetten pozitif terimlerin indirgenebileceğini ifade etmektedir.  $5x+2=4$ eşitliğinin $5x=2$ olarak yazılması “al-muqabala” ifadesine  karşılık gelmektedir. Altı değişik tipteki denklemlerin her birinin çözümü için birer  algoritma ortaya koyması, kitabında daha karışık ve soyut problemlerin olması, Harizmi  cebirinin, Babil ve Yunan’daki cebir anlayışından diğer bir farkıdır.

Harizmi, bilinmeyen  yani $x$ için şey, $x^{2}$, için $overline{mal}$, $x^{3}$ için $ka'b$, $x^{4}$ için $overline{mal}$ $overline{mal}$,  $x^{5}$ için ise $ka'b$ $overline{mal}$ sözcüklerini kullanmıştır.

Harizmi kitabının ikinci bölümünde, 4. tipteki $x^{2}+10x=39$  eşitliğininin  çözümünü şu şekilde yapmıştır;

“Şeylerin sayısının yarısını al, 5, onu kendisi ile çarp, 25, buna 39’u ekle, 64, bunun karekökünü al, 8, bunu şeylerin sayısının yarısından çıkar. Sonuç 3’tür”.

Harizmi’nin çözümü, Babillilerin çözümüne benzemekle birlikte,  belirgin farklılıkları vardır. İlki, Harizmi bilinmeyen için “şey” sözcüğünü kullanmıştır. İkincisi, Harizmi’nin çözümü evrenseldir ve örneğin; yukarıda yaptığı çözüm $x^{2}+bx=c$ formundaki her eşitliğe uygulanabilmektedir. Harizmi, yaptığı çözümleri geometrik şekillerle göstererek doğrulamıştır. Bu durum, onun eski Yunan’daki geometrik gösterim anlayışından etkilendiği şeklinde yorumlanabilir. Harizmi’nin çözümlerinin geometriye dayanması, Eski Yunandan esinlendiğini ortaya koysa da, geometrik modelleme biçimi Babillilerin çözümlerindeki geometrik düşünce biçimine benzemektedir. $x^{2}$, $x$ br uzunluklu bir karenin alanı, $x$ ise kenar uzunlukları $x$ ve $1$ br olan dikdörtgenin alanı olarak düşünülürse, kareye tamamlama tekniği kullanılarak çözüme ulaşılabilir. Harizmi’nin yapmış olduğu çözümün, geometrik olarak doğrulanması aşağıda verilmiştir.

 

Harizmi, $x^{2}+10x=39$ denklemini çözmek için önce ABCD karesini oluşturmakta ve bu kare yardımıyla diğer dikdörtgen ve kareleri tanımlamaktadır. ABCD karesinin bir kenarını bir şey olarak (bizim anladığımız şekilde x olarak) almakta ve bu kareye A, B ve D köşelerinden 5 şey ekleyerek CGEI karesini elde etmektedir. Son adım olarak, CGEI karesinin alan formülünden denklemin çözümüne ulaşmaktadır. Harizmi’nin yaptığı çözümün modern şekilde ifadesi şu şekildedir:

$A(CEIG)=(5+x)^{2}=64$ olur. $x^{2}+10x=39$ denkleminden $x^{2}+10x$ ifadesinin 39 olduğu bilinmektedir. Öyleyse, $A(CEIG)=(5+x)^{2}=39+25=64$ ’tür. Buradan, $(5+x)^{2}=64$ olacağından $5+x=pm 8$ eşitliği elde edilir. Sonuç olarak $x=3$ veya $x=-13$ olarak bulunur. Harizmi pozitif kökü kabul etmiş, negatif kökü ise reddetmiştir.

Harizmi cebirsel gösterimlerde sembolleri kullanmamıştır. Cebirsel gösterimleri, cebirsel soruları ve çözümlerini yazılı olarak yapmıştır. Harizmi’nin kitabındaki bir problem şu şekildedir;

“10 sayısı iki parçaya ayrılıyor. Ayrılan parçaların her biri kendisi ile çarpılıyor ve daha sonra birbirleriyle toplanıyorlar. Bunların farkları da bunlara ekleniyor. Toplamın sonucu 54 olduğuna göre x=?”

Modern ifadesi; $(10+x)^{2}+x^{2}+(10-x)-x=54$ olan eşitliği Harizmi, $100–20x+x^{2}+x^{2}+10-x-x=54$ olarak yazdıktan sonra elde ettiği $110 – 22x+2x^{2}=54$ eşitliğini düzenleyerek eşitliğin her iki tarafına 22x eklemiş (al-jabr) ve $110+2x^{2}=54+22x$ eşitliğine ulaşmıştır. Daha sonra eşitliğin her iki tarafından 54 çıkararak (al-muqabala), $56+2x^{2}=22x$ eşitliğine ulaşıp, her iki tarafı iki ile bölerek $x^{2}+28=11x$ şeklinde eşitliğe son biçimini vermiştir.  5. tipteki bu eşitliği kendi geliştirdiği algoritmayı kullanarak çözmüştür. Harizmi, irrasyonel sayılar
içeren hiçbir problem çözmemesine rağmen, kitabının başında köklü sayılarla nasıl uğraşılacağı ile ilgili bilgiler sunmuştur. $n.sqrt{q}$ sayısını n’yi kök içine alarak $sqrt{n^{2}.q}$ şeklinde yazmıştır. İslam dünyasında Harizmi’den sonraki matematik bilgini Al-Karaji, benzer şekilde 25 ile $sqrt{25}$ ’in çarpımını, 25’i kök içine alarak $sqrt{15625}$ olarak yapmıştır. Ortaçağ cebir anlayışında, Abu-Kamil’in yaptığı gibi $sqrt{8}$ yerine $sqrt{8x^{2}}$ ’nin tercih edilmesinin nedeninin bilinmeyen (şey) sayısının irrasyonel olarak ifade edilememesinden kaynaklanmış olabileceği düşünülmektedir. Nitekim kaç tane şey (dirham) tipindeki bir soruya $sqrt{8}$ tane cevabını vermek o dönemin cebir anlayışı için zor olmuş olabilir.

İslam dünyasında Harizmi’den sonra Ibn Türk, Thabit Ibn Kurra, Abu Kamil, Al-Karaji, Al-Samaw’al, Ömer Hayyam, Şerafeddin Tusi cebirle uğraşan diğer matematik  bilginleridir. Ibn Turk, Kitab al-jabr wa’l muqabala isimli kitabında, Harizmi’nin  kitabındaki 1, 4, 5 ve 6. tiplerdeki denklemlerin çözümündeki geometrik düşünce biçimini  geliştirerek çözümler yapmıştır. Thabit ibn Kurra (830-890) ve Abu Kamil (850-930),  yaptıkları çözümlerin geometrik olarak doğrulanmasında Euclid’in Elementler II kitabından  esinlenmişlerdir. Abu-Kamil, cebir üzerine, “Kitab fi al-jabr wa’l muqabala”  isimli bir kitap yazmıştır. Abu Kamil cebirsel problemlerde irrasyonel sayılarla da  uğraşmıştır. Ayrıca çözümlerde değişkenler arasında dönüşümlere başvurmuştur. Modern şekilde ifadesi $left ( frac{x}{10-x} right )^{2}-left ( frac{10-x}{x} right )^{2}=2$ eşitliğinin çözümünü şu şekilde yapmıştır: Öncelikle $y=frac{10-x}{x}$, $frac{1}{y}=frac{10-x}{x}$ seklinde  düşünerek,  eşitliği  y  cinsinden $frac{1}{y^{2}}=y^{2}+2$ olarak yazmış, eşitliğin her iki tarafını $y^{2}$  ile çarparak $left ( y^{2} right)^{2}+2y^{2}=1$ eşitliğine ulaşmıştır. Buradan y’yi $sqrt{sqrt{2}-1}$ olarak, $x$'i ise $10+sqrt{50}-sqrt{50+sqrt{20000}-sqrt{5000}}$ olarak bulmuştur.  Harizmi ve Abu-Kamilden sonra gelen İslam dünyasının önde gelen matematikçileri, Al-Karaji ve Al-Samaw’al’dır. Al-Karaji, ilk defa serileri formülleştirmeye çalışmış ve yaptığı  eşitliğin sonsuza kadar gittiğini ifade etmiştir. Eski Yunanda Diophantus, sadece  bilinmeyenlerin üçten büyük kuvvetlerini ortaya koyabilmiştir. Al-Karaji, cebir üzerine  yazmış olduğu Al-Fakhri (Harika) isimli kitabında, $frac{1}{x^{2}}$yi juzu mal şeklinde yazarak  belirtmiştir. Al-Karajinin ortaya koyduğu yapı aşağıda verilmiştir.

$1:x=x:x^{2}=x^{2}:x^{3}=...$

$frac{1}{x}:frac{1}{x^{2}}=frac{1}{x^{2}}:frac{1}{x^{3}}=frac{1}{x^{3}}:frac{1}{x^{4}}=...$

Al-Karaji, üslü bilinmeyen ifadeler ile ilgili yukarıdaki kuralı bulduktan sonra, tek
terimli ve çok terimlilerin çarpımı, toplamı ve farkı ile ilgili genel ilkeler ortaya koymuştur.  Bölme işlemi için ise negatif sayılarla yaşadığı zorluk nedeniyle sadece tek terimlileri bölen  olarak kullanmıştır. Modern gösterimi $frac{10-x}{x}-frac{x}{10-x}=frac{1}{2}+frac{1}{3}$ olan eşitliği çözerken, öncelikle $frac{x}{10-x}$ ’i eşitliğin diğer tarafına atmış, ardından eşitliğin her iki yanını (10-x) ile çarpmıştır.

$frac{100+x^{2}-20x}{x}=8frac{1}{3}+frac{x}{6}$ şekline  dönüşen  eşitliğin  her  iki  yanını  x  ile  çarparak  $100+x^{2}-20x=8frac{1}{3}x+frac{x^{2}}{6}$ eşitliğine ulaşmıştır. Abu-Kamil ve Al-Karaji’nin bölme içeren  cebirsel yapıları polinom tipine dönüştürdükleri görülmektedir. Bunu, eşitliği aynı cebirsel ifade ile çarparak sadeleştirme yoluyla gerçekleştirmişlerdir. Ancak $(2x+1).(x^{2}-1)$ türündeki çarpma işlemini yapmaktan kaçındıkları görülmektedir.

İslam dünyasında üçüncü dereceden denklemlerin çözümleriyle uğraşan ilk matematikçi 1048-1131 arasında yaşamış olan Ömer Hayyam’dır. Hayyam, üçüncü dereceden denklemleri sınıflandırmış ve çözümlerini geometrik yolla yapmıştır. $x, x^{2},  x^{3}$ gibi günümüz cebirsel sembollerini kullanmamış ve bu yöntemde uzunluk sözkonusu olduğu için negatif çözümler düşünülmemiştir. Şekil 9’da açıklandığı gibi Hayyam, $x^{3}+ax=b$ tipindeki denklemleri günümüz diliyle sırasıyla şu adımları takip ederek çözmüştür. Önce, $x^{2}=sqrt{a}y$ parabolünü çizdi, sonra parabolün tepe noktasından bir teğet çizdi ve yarıçapı $frac{b}{a}$ olan ve parabolü teğet noktasında kesen bir çember çizdi. Parabolle çemberin diğer kesişim noktası  P noktasından teğete inilen dik |PH| doğru parçası H noktasında kessin,  |AH| uzunluğu  denklemin çözümlerinden biridir. İlerleyen yıllarda Cardano, üçüncü dereceden denklemlerin çözümü için Hayyam’ın çözümlerinden yararlanarak yeni yöntemler geliştirmiştir.

İslam dünyasının diğer bir matematik bilgini 1200’lerde yaşamış olan Şerafeddin Tusi’dir. Ömer Hayyam gibi o da, üçüncü dereceden denklemlerin çözümleriyle ilgilenmiştir. $x^{3}+d=bx^{2}$ eşitliğini çözerken kullandığı yöntem Ömer Hayyam’ın kullandığı yöntemden farklıdır. Eşitliği öncelikle $x^{2}.(b – x)=d$ şeklinde yazmıştır. Daha sonra eşitliğin sol tarafının değerinin d veya d olmamasına bağlı olarak eşitliğin bir çözümünün olup  olamayacağı sorusuna yönelmiştir. Bunu belirlemek için, fonksiyonun maksimum değerini bulmaya ihtiyacı vardı. Fonksiyonun maksimum $x$ değerini $frac{2b}{3 }$ olarak aldığında fonksiyonun değerinin $frac{4b^{3}}{27}$ olduğunu ifade etmiştir. Fonksiyonun değerinin $frac{4b^{3}}{27}$'den küçük olduğunda iki çözümünün, büyük olduğunda ise hiçbir pozitif  çözümünün olmadığını ifade etmiştir. Ancak yaptığı çözümü bir algoritmaya dayandırmamıştır. Şerafeddin Tusi tarafından yapılan çözüm daha sonra ne İslam dünyasında ne de Avrupa’da devam ettirilmiştir. İslam dünyasında cebir alanında atılan adımlar ilerleyen süreçlerde Batılı matematikçiler tarafından alınarak geliştirilecektir.

Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi'nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER'e ait "CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ"  başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.