Escher Çizimleri Galerisi için TIKLAYIN

]]> http://www.matematik.us/haberler-duyurular/escher-sergisi-ankarada.html/feed 0 http://www.matematik.us/geogebra-dersleri/geogebra-ve-ask.html http://www.matematik.us/geogebra-dersleri/geogebra-ve-ask.html#comments Tue, 24 Apr 2012 07:19:40 +0000 BAHADIR http://www.matematik.us/?p=1664 Geogebra ile oluşturulmuş görülesi animasyonlar.

Benzer Diğer Resimler:

ÖZET:
(Ayrıntılı bilgiler için yazının sonundaki bağlantıları kullanabilirsiniz)

• Eski Mısır’da yanlışı deneme yolu kullanılarak rasyonel tipteki denklemlerin ve doğrusal olmayan denklem sistemlerinin çözümleri yapılmıştır. Eski Mısırda cebirsel gösterimler düz yazı formatında yapılmıştır.
• Babilliler, eski Mısırdan biraz daha ileri giderek, sınırlı sayıdaki bir bilinmeyenli doğrusal ve ikinci dereceli denklemlerin çözümlerine geometrik bir düşünce yapısıyla, düz yazı formatında yapmışlardır.
• Euclid, Babillilere benzer olarak, çözümlerini geometrik bir düşünce biçimiyle yapmıştır. Bu yüzden Euclid’in uğraşı alanı Geometri’dir.
• Diophantus, denklemleri çözerken tamamlama ve indirgeme yollarına başvurmuş olmasına rağmen, kitabında bu yollara isim vermemiştir. Diophantus, Euclid’den farklı olarak cebiri geometriden kurtararak, analitik hale sokmaya çalışmıştır. Çok değişkenli iki veya üç denklemden oluşan, sınırsız sayıda rasyonel çözümü olan denklemlerin çözümleriyle uğraşmıştır. Bu denklemler, “Diophantine denklemleri” olarak bilinmektedir. Ancak, Diophantus’tan önce ve sonra bu tip denklemlerle uğraşıldığı, bu tip denklemlerin doğru ve genel çözümlerinin yapıldığı bilinmektedir. Diophantus, denklem çözümlerinde genel bir çözüm algoritması ve sistematik bir yöntem geliştirememiş, denklemleri Harizmi’nin yaptığı gibi sınıflara ayıramamış ve her bir sınıfa giren denklemler için genel bir çözüm algoritması ortaya koyamamıştır. Ayrıca çok değişkenli denklemlerle uğraşmasına rağmen, birden fazla bilinmeyen tanımlayamamıştır. Buna paralel olarak, Babillilerin yaptıkları gibi, tüm bilinmeyenleri bir parametre cinsinden ifade ederek çözüme ulaşmaya çalışmıştır. En önemli başarısı, cebirsel gösterimlerde kısaltmalara başvurarak, sembolik döneme geçiş için önemli bir adım atmış olmasıdır. Diophantus, çözümlerinde sadece pozitif sayıları kök olarak kabul etmiş, kök olarak sıfırı göz ardı etmiştir. Kitabı bir cebir kitabı olmaktan çok, sayı teorisi üzerine yazılmış bir kitaptır.
• Matematik alanlarından cebirin mucidi Harizmidir. Harizmi, bir bilinmeyenli, birinci ve ikinci dereceli denklemlerin  olacak şekilde altı biçime indirgenebileceğini ifade etmiş ve her bir sınıfa giren denklem için genel bir çözüm algoritması ortaya koymuştur. Sistematik olarak eşitlik kavramı üzerine çalışan ilk matematikçi Harizmidir. 825 yılında yazmış olduğu kitabı, “Al KitabFi Hisab Al Cabr wal Muqabalah” Rönesans dönemi cebir çalışmaları için Batılı matematik bilginlerine ilham kaynağı olmuştur. Buradaki “Al Cabr” terimi İngilizce ve Fransızcaya “algebra” olarak geçmiş ve Türkçede “cebir” olarak kullanılmıştır. Harizmi, çözümlerinde pozitif ve irrasyonel sayıları kök olarak kabul etmiştir.
• Avrupa’ya cebirin geçisi Harizminin eserleri sayesinde 12. ve 13. yüzyıllarda olmuştur. Avrupa’nın ilk matematikçilerinden olan, İtalyan matematikçi Fibonacci’nin 1202 yılında yazdığı kitapta, başta Harizmi olmak üzere, İslam dünyasının matematik bilgilerinin yaptıkları çalışmalarından etkilendiği belirtilmektedir. Üçüncü dereceden denklemlerin çözümü, 15. yüzyıl ile 16. yüzyılın başına kadar çoğu matematik bilgini için bir uğraş alanı olmuştur. Ferro (1465-1526), Tartaglia (1499-1557), Cardano (1501-1576), Bombelli (1526-1572) üçüncü dereceden denklemlerle uğraşmışlardır. Cebirsel gösterimlerde sembolik döneme 15. yüzyılın sonlarında Fransız matematikçi Viete (1540-1603) ile geçilmiştir. Viete 1591 yılında bilinmeyenleri göstermek için büyük ünlü harflerden A, E, I, O ve U’yu kullanmıştır. 1637 yılında Descartes (1596–1650), bugün bizim kullandığımız bazı sembolleri kullanmıştır. Bilinmeyenleri x, y ve z olarak ifade etmiştir. ’ yi xx, ’ü ise xxx olarak yazmıştır. Eşittir sembolünü ise günümüzden farklı olarak sembolü ile göstermiştir. On yedinci yüzyılda Fermat’ın sayı teorisi üzerine yaptığı çalışmalar, Newton’un analiz üzerine yaptığı çalışmalar, sözel problemleri sembolik dilde yazarak çözümü ve Binom teoremi, Maclaurin’in lineer denklem sistemlerini yok etme metoduyla çözümü (Bu yöntem bugün Cramer kuralı olarak bilinmektedir, Gabriel Cramer 1704-1752), Langrange’nin denklemler teorisi, Galois’in cebirsel denklemler teorisi, 18. yüzyılda, Euler ve Gauss’un karmaşık sayıları düzlemde noktalar olarak göstermesi ve analiz üzerine yaptıkları çalışmalar cebir’in günümüzdeki şekline kavuşmasında yardımcı olmuştur.

Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi'nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER'e ait "CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ"  başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.

Fibonacci, Liber Abaci isimli kitabında, Harizmi, Abu-Kamil ve Al-Karaji’nin kitaplarında çözmüş oldukları problemleri aynen alıp, bu problemler üzerine çalışmıştır. Kitabının son bölümünde Harizmi’nin altı tipe ayırdığı denklemlerin çözümlerini geometrik olarak yapmış, Harizmi ve Abu-Kamilin çözümlerini yaptığı “10 sayısı iki parçaya ayrılıyor” şeklinde başlayan problemlerin çözümleriyle uğraşmıştır. Fibonacci, problem çözümlerinde çeşitli çözüm yöntemleri kullanmıştır. Kullanmış olduğu çözüm yöntemlerinden biri Eski Mısırda kullanılan yanlışı deneme yoludur. Yanlışı deneme yolunu kullanarak çözdüğü bir problem şu şekildedir.

“Yükseklikleri sırasıyla 30 ve 40 adım olan, iki kulenin birbirine olan uzaklıkları 50 adımdır. Kulelerin üzerinde duran iki kuş, aynı hızla uçarak yerde bulunan yiyeceğe aynı anda ulaştıklarına göre, yemin kulelere olan uzaklıkları kaçar adımdır”.

Fibonacci, aslan problemi olarak bilinen problemi de yanlışı deneme yolu ile çözmüştür. Problem şu şekildedir:

“50 adım derinliğindeki bir çukurdaki aslan, her gün bir adımın yedide biri kadar yükselip, her gece bir adımın dokuzda biri kadar iniyor. Kaç gün sonunda aslan çukurdan çıkar?”.

Fibonacci’nin kullandığı diğer bir çözüm yolu ise iki bilinmeyenin olduğu bir problemde yeni bir bilinmeyen tanımlayarak çözüme ulaşmaya çalışmasıdır. Yeni bir bilinmeyen tanımlama yolunu kullanarak çözüme ulaştığı bir problemi şu şekilde örneklendirebiliriz.

“Ahmet ve Cemilin belli miktar paraları vardır. Cemil, Ahmet’e 1 TL verirse paraları eşit oluyor. Ahmet, Cemil’e 1 TL verirse Cemil’in parası Ahmet’in parasının 10 katı oluyor. Buna göre Ahmet ve Cemil’in başlangıçta ne kadar paralarının olduğunu bulunuz?”.

Fibonacci, modern gösterimi ve olan problemin çözümünü yaparken şeklinde z gibi bir parametre tanımlamıştır. Daha sonra ve 'ye ulaşarak ve bilinmeyenlerini cinsinden yazmıştır. İki eşitliği toplayarak eşitliğine ulaşmıştır. Buradan sonucunu elde etmiştir.

Genel olarak o dönem abaküsçülerinin tümü, Harizminin denklemleri sınıflandırmasını ve çözüm yöntemini dikkate alarak cebir ile uğraşmaya yönelmişlerdir. Ancak Maestro Dardi, 1344 yılında yazmış olduğu kitapta bu sınıflandırmayı genişletmiştir. Dardi, tipindeki denklemleri çözerken eşitliğin sol tarafını, iki sayının toplamının parantez küpü olarak ifade etmeye çalışmıştır. Benzer şekilde Pierro Della Frencesca (1420-1429), Dardi’den daha ileri giderek, beşinci ve altıncı dereceden denklemlerin çözümü ile uğraşmıştır. Abaküsçülük akımı, son abaküsçü Pacioli ile son bulmuştur. Pacioli cebirsel problemlerini büyük bir kısmını Pierro’nun çalışmalarından almıştır. Avrupa’da 16. yüzyıla kadar denklemlerin çözümleri sözel olarak yapılmıştır. İslam dünyasının etkisiyle İtalya’da sürdürülen cebirin gelişimi ilerleyen süreçlerde devam etmiştir. 14. ve 15. yüzyıllar arasında Fransa, Almanya, İngiltere ve Portekiz’de cebir üzerine yapılan çalışmalar Tablo 3’te özetlenmiştir.

Üçüncü dereceden denklemlerin çözümü, 15. yüzyıl ile 16. yüzyılın başına kadar çoğu matematik bilgini için bir uğraş alanı olmuştur. 1500-1515 yılları arasında Bologno üniversitesinde profesör olan Scipione del Ferro (1465-1526), tipindeki denklemlerin çözümleri için cebirsel bir yöntem geliştirmiştir. Bilindiği gibi İslam dünyasında sadece pozitif katsayılı denklemler geometrik bir yolla çözülmüş, negatif çözümler dikkate alınmamıştır. Ferro’nun üçüncü dereceden denklemleri doğrusal, pozitif katsayılı ve sabit terimden oluşmaktadır. Ferro ölmeden önce yaptığı çözümleri öğrencisi olan Antonio Marie Fiore (16. yüzyılın ilk yarısı) açıklamıştır. O dönemin İtalyan matematikçilerinden Niccolo Tartaglia (1499-1557), tipindeki denklemlerin çözümlerini ilk kendisinin keşfettiğini iddia etmiştir. Fiore, halkın huzurunda Tartaglia’ya meydan okumuş, ancak Tartaglia, Fiore’nin yapamadığı üçüncü dereceden denklem çözümlerini doğru olarak yaparak, halkın huzurunda kazandığını ilan etmiştir.
Bir diğer İtalyan matematikçi Gerolamo Cardano (1501-1576), Tartaglia’dan yaptığı çözümleri kendisine anlatmasını istemiştir. Tartaglia, Cardano’ya yaptığı çözümleri yayımlamaması koşuluyla anlatacağını söylemiştir. Tartaglia, üç farklı üçüncü dereceden denklem formunun çözümlerini şiir formatında Cardano’ya açıklamıştır. İlerleyen süreçlerde Cardano, denklem çözümlerinin Tartaglia’dan önce del Ferro tarafından yapıldığını öğrenmiştir. Bu duruma sinirlenen Tartaglia, 1545 yılında yayımladığı Ars Magna sive de Regulis Algebracis isimli eserinde tipindeki denklemlerin çözümlerini sözel olarak yapmış ve çözümü veren formülü açıklamıştır. Cardano, tipindeki denklemlerin çözümlerini modern gösterimiyle;

şeklinde verilmiştir.

Genel İstatistikler

• 1 milyon 895 bin 476 aday başvurdu.
• 57 bin 742'si sınava girmedi.
• 1 milyon 648 bin 240 adayın sınavı geçerli sayıldı.
• 38 bin 269'unun puanı hesaplanamadı.
  (2010-YGS'de ise sınavı geçerli olan 1 milyon 487 bin 493 adaydan 14 bin 156'sının puanı hesaplanamamıştı.)

Soruların Tamamını Cevaplayanlar

• Türkçe testinde 40 sorunun tamamını doğru yanıtlayan 929,
• Sosyal Bilimler testinde 40 sorunun tamamını doğru yanıtlayan 56,
• Temel Matematik testinde 40 sorunun tamamını yanıtlayan bin 316,
• Fen Bilimler testinde 40 sorunun tamamını doğru yanıtlayan 437 aday çıktı

Başarı İller

En başarılı iller: Burdur, Ankara ve Karabük oldu.

GrafikÇiz sayfasına ulaşmak için aşağıdaki linki kullanabilirsiniz.

http://grafikciz.matematik.us/

Düzgün Oniki Yüzlü  Animasyonu

[Hazırlanıyor...]

Düzgün Oniki Yüzlü  Açılımı

Kağıda çıktısını alarak hemen Düzgün Oniki Yüzlü'nüzü  oluşturabilirsiniz.

Çıktı alabilmeniz için PDF dosyasını indirebilirsiniz. PDF dosyası için buraya tıklayın.

Harizmi, 825 yılında yazmış olduğu“Al KitabFi Hisab Al Cabr wal Muqabalah” ( Tamamlama ve Dengeleme Yoluyla Hesaplama) isimli kitabında, denklemlerin çözümlerini Babil’de, Euclid’in Eski Yunanında ve Hintlilerde görülmemiş bir şekilde yapmıştır. Harizmi’nin en büyük başarılarından biri, cebiri geometriden kurtarması ve matematiğin bir dalı olarak ortaya koymasıdır. Nitekim geometrik bir düşünce yapısıyla yapılan cebirsel çözümler, Harizmi’den önce vardı. Harizmi, denklemleri “al-jabr” ve “al-muqabala” denilen iki işlem kullanarak çözmüştür. Al-jabr (Cebir) tamamlama anlamına gelmektedir. Bir denklemde negatif terimlerin ortadan kaldırılması işlemini ifade  etmektedir.  eşitliğinin  olarak yazılması al-jabr ifadesine  karşılık gelmektedir. Aslında Harizminin yaptığı bu işlem günümüz cebir anlayışını yansıtmaktadır. Eşitliğin her iki tarafına  eklenerek negatif terimlerin yok edilmesi  eşitliğin çözümünü kolaylaştırmaktadır. “Al-muqabala” terimi ise dengeleme anlamına gelmektedir ve denklemin iki tarafında aynı kuvvetten pozitif terimlerin indirgenebileceğini ifade etmektedir.   eşitliğinin  olarak yazılması “al-muqabala” ifadesine  karşılık gelmektedir. Altı değişik tipteki denklemlerin her birinin çözümü için birer  algoritma ortaya koyması, kitabında daha karışık ve soyut problemlerin olması, Harizmi  cebirinin, Babil ve Yunan’daki cebir anlayışından diğer bir farkıdır.

Harizmi, bilinmeyen  yani için şey, , için , için ,  için  ,   için ise sözcüklerini kullanmıştır.

Harizmi kitabının ikinci bölümünde, 4. tipteki   eşitliğininin  çözümünü şu şekilde yapmıştır;

“Şeylerin sayısının yarısını al, 5, onu kendisi ile çarp, 25, buna 39’u ekle, 64, bunun karekökünü al, 8, bunu şeylerin sayısının yarısından çıkar. Sonuç 3’tür”.

Harizmi’nin çözümü, Babillilerin çözümüne benzemekle birlikte,  belirgin farklılıkları vardır. İlki, Harizmi bilinmeyen için “şey” sözcüğünü kullanmıştır. İkincisi, Harizmi’nin çözümü evrenseldir ve örneğin; yukarıda yaptığı çözüm  formundaki her eşitliğe uygulanabilmektedir. Harizmi, yaptığı çözümleri geometrik şekillerle göstererek doğrulamıştır. Bu durum, onun eski Yunan’daki geometrik gösterim anlayışından etkilendiği şeklinde yorumlanabilir. Harizmi’nin çözümlerinin geometriye dayanması, Eski Yunandan esinlendiğini ortaya koysa da, geometrik modelleme biçimi Babillilerin çözümlerindeki geometrik düşünce biçimine benzemektedir. , br uzunluklu bir karenin alanı, ise kenar uzunlukları  ve  br olan dikdörtgenin alanı olarak düşünülürse, kareye tamamlama tekniği kullanılarak çözüme ulaşılabilir. Harizmi’nin yapmış olduğu çözümün, geometrik olarak doğrulanması aşağıda verilmiştir.

Harizmi,  denklemini çözmek için önce ABCD karesini oluşturmakta ve bu kare yardımıyla diğer dikdörtgen ve kareleri tanımlamaktadır. ABCD karesinin bir kenarını bir şey olarak (bizim anladığımız şekilde x olarak) almakta ve bu kareye A, B ve D köşelerinden 5 şey ekleyerek CGEI karesini elde etmektedir. Son adım olarak, CGEI karesinin alan formülünden denklemin çözümüne ulaşmaktadır. Harizmi’nin yaptığı çözümün modern şekilde ifadesi şu şekildedir:

olur.  denkleminden  ifadesinin 39 olduğu bilinmektedir. Öyleyse,  ’tür. Buradan,  olacağından  eşitliği elde edilir. Sonuç olarak veya olarak bulunur. Harizmi pozitif kökü kabul etmiş, negatif kökü ise reddetmiştir.

Harizmi cebirsel gösterimlerde sembolleri kullanmamıştır. Cebirsel gösterimleri, cebirsel soruları ve çözümlerini yazılı olarak yapmıştır. Harizmi’nin kitabındaki bir problem şu şekildedir;

“10 sayısı iki parçaya ayrılıyor. Ayrılan parçaların her biri kendisi ile çarpılıyor ve daha sonra birbirleriyle toplanıyorlar. Bunların farkları da bunlara ekleniyor. Toplamın sonucu 54 olduğuna göre x=?”

Modern ifadesi;  olan eşitliği Harizmi,  olarak yazdıktan sonra elde ettiği eşitliğini düzenleyerek eşitliğin her iki tarafına 22x eklemiş (al-jabr) ve  eşitliğine ulaşmıştır. Daha sonra eşitliğin her iki tarafından 54 çıkararak (al-muqabala), eşitliğine ulaşıp, her iki tarafı iki ile bölerek şeklinde eşitliğe son biçimini vermiştir.  5. tipteki bu eşitliği kendi geliştirdiği algoritmayı kullanarak çözmüştür. Harizmi, irrasyonel sayılar
içeren hiçbir problem çözmemesine rağmen, kitabının başında köklü sayılarla nasıl uğraşılacağı ile ilgili bilgiler sunmuştur. sayısını n’yi kök içine alarak şeklinde yazmıştır. İslam dünyasında Harizmi’den sonraki matematik bilgini Al-Karaji, benzer şekilde 25 ile ’in çarpımını, 25’i kök içine alarak  olarak yapmıştır. Ortaçağ cebir anlayışında, Abu-Kamil’in yaptığı gibi  yerine  ’nin tercih edilmesinin nedeninin bilinmeyen (şey) sayısının irrasyonel olarak ifade edilememesinden kaynaklanmış olabileceği düşünülmektedir. Nitekim kaç tane şey (dirham) tipindeki bir soruya  tane cevabını vermek o dönemin cebir anlayışı için zor olmuş olabilir.

İslam dünyasında Harizmi’den sonra Ibn Türk, Thabit Ibn Kurra, Abu Kamil, Al-Karaji, Al-Samaw’al, Ömer Hayyam, Şerafeddin Tusi cebirle uğraşan diğer matematik  bilginleridir. Ibn Turk, Kitab al-jabr wa’l muqabala isimli kitabında, Harizmi’nin  kitabındaki 1, 4, 5 ve 6. tiplerdeki denklemlerin çözümündeki geometrik düşünce biçimini  geliştirerek çözümler yapmıştır. Thabit ibn Kurra (830-890) ve Abu Kamil (850-930),  yaptıkları çözümlerin geometrik olarak doğrulanmasında Euclid’in Elementler II kitabından  esinlenmişlerdir. Abu-Kamil, cebir üzerine, “Kitab fi al-jabr wa’l muqabala”  isimli bir kitap yazmıştır. Abu Kamil cebirsel problemlerde irrasyonel sayılarla da  uğraşmıştır. Ayrıca çözümlerde değişkenler arasında dönüşümlere başvurmuştur. Modern şekilde ifadesi  eşitliğinin çözümünü şu şekilde yapmıştır: Öncelikle ,  seklinde  düşünerek,  eşitliği  y  cinsinden  olarak yazmış, eşitliğin her iki tarafını   ile çarparak  eşitliğine ulaşmıştır. Buradan y’yi olarak, 'i ise  olarak bulmuştur.  Harizmi ve Abu-Kamilden sonra gelen İslam dünyasının önde gelen matematikçileri, Al-Karaji ve Al-Samaw’al’dır. Al-Karaji, ilk defa serileri formülleştirmeye çalışmış ve yaptığı  eşitliğin sonsuza kadar gittiğini ifade etmiştir. Eski Yunanda Diophantus, sadece  bilinmeyenlerin üçten büyük kuvvetlerini ortaya koyabilmiştir. Al-Karaji, cebir üzerine  yazmış olduğu Al-Fakhri (Harika) isimli kitabında, yi juzu mal şeklinde yazarak  belirtmiştir. Al-Karajinin ortaya koyduğu yapı aşağıda verilmiştir.

Al-Karaji, üslü bilinmeyen ifadeler ile ilgili yukarıdaki kuralı bulduktan sonra, tek
terimli ve çok terimlilerin çarpımı, toplamı ve farkı ile ilgili genel ilkeler ortaya koymuştur.  Bölme işlemi için ise negatif sayılarla yaşadığı zorluk nedeniyle sadece tek terimlileri bölen  olarak kullanmıştır. Modern gösterimi olan eşitliği çözerken, öncelikle  ’i eşitliğin diğer tarafına atmış, ardından eşitliğin her iki yanını (10-x) ile çarpmıştır.

 şekline  dönüşen  eşitliğin  her  iki  yanını  x  ile  çarparak   eşitliğine ulaşmıştır. Abu-Kamil ve Al-Karaji’nin bölme içeren  cebirsel yapıları polinom tipine dönüştürdükleri görülmektedir. Bunu, eşitliği aynı cebirsel ifade ile çarparak sadeleştirme yoluyla gerçekleştirmişlerdir. Ancak  türündeki çarpma işlemini yapmaktan kaçındıkları görülmektedir.

İslam dünyasında üçüncü dereceden denklemlerin çözümleriyle uğraşan ilk matematikçi 1048-1131 arasında yaşamış olan Ömer Hayyam’dır. Hayyam, üçüncü dereceden denklemleri sınıflandırmış ve çözümlerini geometrik yolla yapmıştır. gibi günümüz cebirsel sembollerini kullanmamış ve bu yöntemde uzunluk sözkonusu olduğu için negatif çözümler düşünülmemiştir. Şekil 9’da açıklandığı gibi Hayyam, tipindeki denklemleri günümüz diliyle sırasıyla şu adımları takip ederek çözmüştür. Önce,  parabolünü çizdi, sonra parabolün tepe noktasından bir teğet çizdi ve yarıçapı olan ve parabolü teğet noktasında kesen bir çember çizdi. Parabolle çemberin diğer kesişim noktası  P noktasından teğete inilen dik |PH| doğru parçası H noktasında kessin,  |AH| uzunluğu  denklemin çözümlerinden biridir. İlerleyen yıllarda Cardano, üçüncü dereceden denklemlerin çözümü için Hayyam’ın çözümlerinden yararlanarak yeni yöntemler geliştirmiştir.

İslam dünyasının diğer bir matematik bilgini 1200’lerde yaşamış olan Şerafeddin Tusi’dir. Ömer Hayyam gibi o da, üçüncü dereceden denklemlerin çözümleriyle ilgilenmiştir.  eşitliğini çözerken kullandığı yöntem Ömer Hayyam’ın kullandığı yöntemden farklıdır. Eşitliği öncelikle şeklinde yazmıştır. Daha sonra eşitliğin sol tarafının değerinin d veya d olmamasına bağlı olarak eşitliğin bir çözümünün olup  olamayacağı sorusuna yönelmiştir. Bunu belirlemek için, fonksiyonun maksimum değerini bulmaya ihtiyacı vardı. Fonksiyonun maksimum  değerini olarak aldığında fonksiyonun değerinin  olduğunu ifade etmiştir. Fonksiyonun değerinin 'den küçük olduğunda iki çözümünün, büyük olduğunda ise hiçbir pozitif  çözümünün olmadığını ifade etmiştir. Ancak yaptığı çözümü bir algoritmaya dayandırmamıştır. Şerafeddin Tusi tarafından yapılan çözüm daha sonra ne İslam dünyasında ne de Avrupa’da devam ettirilmiştir. İslam dünyasında cebir alanında atılan adımlar ilerleyen süreçlerde Batılı matematikçiler tarafından alınarak geliştirilecektir.

Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi'nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER'e ait "CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ"  başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.

Brahmagupta, modern gösterimi x^2-10x=-9i şeklindeki ikinci dereceli denklemi aşağıdaki şekilde göstermiş ve çözmüştür.

“Sabit sayı olan (9), x^2’nin katsayısı olan 1 ile çarpılarak (9) bulunur. Bu değer,  bilinmeyen terimin katsayısı olan (10)’un yarısının karesi ile toplanarak, 16’ya ulaşılır.  16’nın karekökü bilinmeyen terimin katsayısı olan (10)’un yarısından çıkarılarak 9 elde  edilir. Bu değer, x^2’nin katsayısı olan 1 ile bölünerek 9 sonucuna ulaşılmış olur”

Sözel çözüm incelendiğinde, Brahmagupta’nın modern gösterimi x^2-10x=-9 olan  denklemi çözerken, geometrik bir düşünce yapısına başvurduğu anlaşılmaktadır. Yapılan  çözümün geometrik biçimi aşağıda verilmiştir.

Hint cebirinde cebirsel eşitlikler ifade edilirken kısaltmalar kullanılmış olsa da, Hint cebirinin büyük ölçüde düz yazı formunda sunulduğu söylenebilir. Dikkate değer olan şey negatif sayıların doğru şekilde kullanılmasıdır. Dikkat edilirse sayının üstüne koyulan nokta sayının negatif olduğunu göstermektedir. Negatif sayıların ve irrasyonel sayıların varlığını ilk defa Hintli matematik bilginleri ortaya koymuşlardır. Bhaskara x^2-45x=250 eşitliğinin çözümünü 50 ve -5 olarak bulmuş olmasına rağmen, negatif sayıları çözüm kümesi içerisine almamıştır. Ayrıca aşağıdaki eşitliği elde etmeleri  irrasyonel sayılarla işlemler yaptıklarının da bir göstergesidir.

Eski Mısır'daki yanlışı deneme yolu, Babilliler, Eski Yunan ve Hintlilerdeki cebirsel eşitliklerin geometrik düşünce biçimi ile çözümü cebir kavramının ortaya çıkmasında etkili olmuş olsa da, Cebir kavramı İslam dünyasıyla anlam kazanmış ve Batı dünyasına aktarılmıştır.

Hint Sayıları

Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi'nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER'e ait "CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ"  başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.

İkinci kitabında Euclid’in cebiri geometrik inşalar üzerine kurduğu anlaşılmaktadır. Kitabındaki, birinci, dördüncü, beşinci ve altıncı önermeler aşağıda verilmiştir.

Elementler, Önerme 2.1: “Birbirine paralel olan iki düz çizgi alınırsa ve bu çizgilerden herhangi biri çok sayıdaki doğru parçası ile kesilirse, iki paralel doğru ile oluşturulan büyük dikdörtgen, küçük dikdörtgenlerin toplamına eşittir”.

Elementler, Önerme 2.4: “Bir düz çizgi rastgele kesilirse, büyük kare, doğru parçaları üzerindeki kareler ve doğru parçalarının oluşturduğu dikdörtgenlerin toplamına eşittir”

Yukarıda verilen önermeler, Euclid’in çarpma işleminin dağılma özelliğini ve iki terimin toplamının parantez karesi özdeşliğinin açılımının farkında olduğunu ortaya koymaktadır. Euclid’in beşinci ve altıncı önermeleri, denklemlerin çözümlerinde Babilliler'de olduğu gibi geometrik bir modelleme düşüncesinin hakim olduğunu göstermektedir. Ancak Babillilerin düz yazı biçiminde yaptığı çözümler, araştırmacılar tarafından geometrik modellere çevrilmişken, Euclid’in kitabındaki çözümlerin geometrik modellemelerle yapıldığı görülmektedir. Euclid’in beşinci ve altıncı önermeleri aşağıda
verilmiştir.

Elementler, Önerme 2.5: “Bir düz çizgi, eşit olan ve eşit olmayan doğru parçaları ile kesilirse, düz doğru üzerindeki kare ile birlikte şeklin bütününde eşit olmayan doğru parçalarının oluşturduğu dikdörtgen, oluşan karelerden birine eşittir”

Elementler, Önerme 2.6: “Düz bir çizgi, iki eşit parçaya bölünüp, bu çizginin yanına ek bir çizgi eklenirse, tüm çizgilerin oluşturduğu dikdörtgen ile ikiye bölünün ilk çizginin oluşturduğu karelerden birinin toplamı, sonradan eklenen çizgi ile ilk çizgiyi ikiye bölen doğru parçası ile oluşturulan kareye eşittir”

Euclid’in düşünce biçimi Babillilerin düşünce biçimine benzemektedir. Eğer |AD|=y ve |DB|=x olarak alınırsa, yukarıdaki ilk eşitliğin, x+y=b, x.y=c ve ikinci eşitliğin y-x=b, y.x=c şekline dönüştüğü görülecektir. Euclid’in ortaya koyduğu önerme modelleri, Babillilerin geometrik düşünce yapısına benzemektedir. Bu durum, Eski Yunan’daki matematik bilginlerinin Babillilerden etkilenmiş olma olasılığını arttırmaktadır.Eski Yunan’da, Euclid ve Apollonius zamanının cebirinin de Babil tabletlerinde olduğu gibi geometrik bir düşünceyle yapıldığı, Euclid’in Elementler kitabındaki önermeleri ile gösterilmiştir. Kısacası Babillilerin ve Euclid’in döneminde cebir kavramının henüz ortaya çıkmadığı, cebirin geometrikselleştirildiği söylenebilir.

Euclid’in geometrik modellemeyle çözdüğü diğer bir cebir problemi aşağıdaki gibidir:

AB doğru parçasının boyu n olsun. AB doğru parçasını x ve n-x olarak öyle bölünüz ki, n(n-x)=x^2 olsun. Euclid bu problemi oluşturduğu kareler yardımıyla çözmüştür.

Euclid ilk önce ABCD karesini oluşturuyor. |AD |’nin orta noktası E’yi B köşesine birleştiriyor ve ABE dik üçgenini elde ediyor. Sonra |EF |=|EB | olacak şekilde |DA|’yı uzatarak F noktasını belirliyor ve FGAH karesini elde ediyor. Sırasıyla;

Cebir  alanında önemli çalışmaları olan bir diğer matematik bilgini ise M.S 250’lerde yaşamış  olan  Yunanlı  Diophantus’tur.  Euclid  cebiri geometrikleştirirken,  Diophantus sembolleştirmeye  ve  analitik  hale  sokmaya  çalışmıştır. “Arithmetica”  (13  kitabın  6’sı  mevcuttur),  “On  Polygonal  Number”  (Bir  bölümü mevcuttur),  “Porisms”  (Kayıp)  isimlerinde  üç  kitap  yazmıştır.  Kitabının  giriş  kısmında, aritmetik problemlerini çözmek için göstereceği yolların takip edilmesi gerektiğini ifade etmiştir. Mevcut bölümleri, 189 problemin çözümünü içermektedir.

Diophantus, çok değişkenli iki veya üç denklemden oluşan, sınırsız sayıda rasyonel çözümü olan  denklemlerin  çözümleriyle  uğraşmıştır.  Bu  denklemler,  “Diophantine  denklemleri” olarak  bilinmektedir.  Pisagor  üçlülerinin bulunması  ve Diophantus’tan  önce  yaşamış  olan  Yunanlı  matematikçi  Archimedes  (M.Ö  287-212)’in büyük  baş  hayvan  problemi,  bu  tip  denklemlerle  ilk  defa  Diophantus’un  uğraşmadığını göstermektedir.  Archimedes’in  büyük  baş  hayvan probleminde, dört farklı renkte olan boğa ve ineklerin sayısının kaç olduğu istenmektedir. Yani  denklem  sekiz  bilinmeyenden  oluşmaktadır.  Archimedes  problemin  çözümü  için oluşturduğu lineer eşitlikleri, tek bir eşitliğe indirgeyerek,                    x^2 - 4,729,494y^2=1eşitliğine ulaşmıştır. Buradan y sayısının 9314’ün bir katı olduğunu tespit etmiştir.

İlerleyen  yıllarda  bu  tip  eşitlikler  Pell  eşitlikleri  olarak  adlandırılmıştır.  Bugün  Pell eşitlikleri  olarak  bildiğimiz  ve  Archimedes’in  de  uğraştığı y^2=ax^2+1 tipindeki denklemler  için  Hintli  matematikçi  Brahmagupta  ve  Bhaskara  ilk  defa  genel  çözüm yöntemleri  ortaya  koymuşlardır.  Bu  durum,  Diophantus’tan  önce  ve  sonra  bu  tipdenklemlerle  uğraşıldığını,  eşitliklerin  doğru  ve  genel  çözümlerinin  yapıldığını  ortaya koymaktadır.

Diophantus,  genel  bir  çözüm  algoritması  ve  sistematik  bir  yöntem geliştirmemiştir.  Diophantus,  birden  fazla  bilinmeyeni  tanımlayamamıştır.  Buna  paralel olarak, Babillilerin yaptıkları gibi, tüm bilinmeyenleri bir parametre cinsinden ifade ederek çözüme ulaşmaya çalışmıştır.Diophantus’un dördüncü kitabındaki problemlerden biri, “Öyle iki sayı bul ki, bu iki sayının toplamı, bu iki sayının küpler toplamına eşit olsun” şeklindedir. Diophantus bazı problemlerin çözümlerinde, Eski Mısırda kullanılan yanlışı deneme yolunu da kullanmıştır.

“Bir  sayının  küpü  ile  herhangi  bir  sayının  toplamı,  küpü  alınan  sayı  ile  diğer  sayının toplamlarının  küpüne  eşittir”  problemini,  yanlışı  deneme  yolunu  kullanarak  çözmüştür.

Diophantus’un negatif sayıları kabul etmediğini beşinci kitabının ikinci problemine verdiği cevaptan anlayabiliriz. Diophantus, negatif bir sayı  ile  negatif  bir  sayının  çarpımının  pozitif,  negatif  bir  sayı  ile  pozitif  bir  sayının çarpımının  negatif  olduğunun  farkında  olmasına  rağmen,  denklem çözümlerinde  negatif köklerin varlığını ortaya koyamamıştır. 4x+20= 4 eşitliğinin çözümü için Diophantus, “Bu çok  anlamsız,  çünkü  4,  20’den  daha  küçük”  cevabını  vermiştir.  Dolayısıyla  20  ile toplandığında 4 sonucunu verecek herhangi bir sayının olamayacağını düşünmüştür.

“Toplamları 20, karelerinin toplamı ise 208 olan sayılar nelerdir?”  sorusunu  ise  daha sonra Harizmi’de göreceğimiz farklı bir parametre tanımlama yoluyla çözmüştür.

Modern gösterimi  x+y=20  ve  x^2 + y^2=208  olan  sorunun  çözümü  için  Diophantus  z  parametresini x=10+z ve y=10 – z şeklinde kullanarak sonuca ulaşmıştır. x^2 + y^2=a^2 tipindeki denklemleri çözerken, a için 4 gibi kesin bir değer vererek çözüme başlamış, y değişkenini x cinsinden tanımlama yoluna gitmiştir.

x^2+y^2=16 eşitliğinde y=2x-4 tanımlamasını yapmış ve  4x^2+16–16x=16–x^2 eşitliğini düzenleyerek çözüme ulaşmıştır. Diophantus, tamamlama ve  indirgeme  işlemlerini  yaparak, 5x^2=16x  olacak  şekilde  eşitliği  düzenlemiştir. Eşitliğin sonsuz çözümü  olmasına  rağmen,  eşitliğin kökü  olarak  sadece  16/5  ve  12/5  rasyonel  sayılarını dikkate  almıştır.  Derbyshire  (2006),  bu çözümün  etkileyici  bir  çözüm  olmadığını  ifade etmektedir.  Çünkü  Diophantus, x^2+y^2=a^2 tipindeki  sınırsız  rasyonel  çözümleri  olan denklemlerle uğraşmasına rağmen, çözüm olarak sadece 16/5 ve 12/5 rasyonel sayılarını kabul  etmiştir.  Sıfır  için  sembol  kullanmadığından, kök  olarak  sıfırı  göz  ardı  etmiştirDiophantusun cebir alanına yaptığı en büyük katkı cebirsel gösterimlerde kısaltmaları kullanmasıdır. Diophantus tarafından kullanılan kısaltmalar ve modern gösterim örnekleri Tablo 2’de verilmiştir

Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi'nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER'e ait "CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ"  başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.

“Bir karenin alanına, karenin kenar uzunluğunun ’ü eklendiğinde sonuç olduğuna göre, karenin kenar uzunluğunu bulunuz?”

Matematiksel gösterimi,  olan eşitliğin çözümü aşağıda verilmiştir.

• 2/3’ün yarısını bul: 1/3
• 1/3’ün karesini al: 1/9
• 35/60 ile 1/9’u topla: 25/36
• 25/36’nın karekökünü al: 5/6
• 5/6’dan 1/3’ü çıkar: 3/6
• Sonuç, 1/2'dir

Yukarıdaki çözümden de anlaşılacağı gibi, Babilliler, eski Mısır’da olduğu gibi çözümlerini düz yazı biçiminde yapmışlardır. Ancak yaptıkları çözümlerin oranlama yönteminin yanında geometrik bir düşünce yapısına dayandığı düşünülmektedir. Babilliler'in eşitliğini çözerken kullandıkları geometrik düşünce biçimi Şekil 3’te verilmiştir.

Şekil 3 incelendiğinde, Babillilerin ’yi ifade etmek için x br uzunluklu bir karenin alanını,’ü ifade etmek için kenar uzunlukları ve x br olan iki adet dikdörtgenin alanını kullandıkları ve kareye tamamlama yolu ile ikinci dereceden denklemleri çözdükleri düşünülmektedir.

M.Ö. 2000-1000’li yıllarda Babilliler ikinci dereceden denklemleri çözmek dışında, (b, c sabitler) şeklindeki denklem sistemlerini de düz yazı formatında ancak geometrik bir düşünce biçimiyle çözmüşlerdir. YBC 4663 kodlu Babil tabletinden alınan eşitliğin günümüz şekliyle ifadesi şu şekildedir.

“İki sayının toplamı , çarpımları ise ’dir. Bu sayıları bulunuz?”

Modern gösterimi , şeklinde olan denklem sisteminin Babilliler tarafından yapılan çözümü aşağıda verilmiştir:

• Altı tam ’nin yarısını bul:
• ’ün karesini al:
• ’dan ’yi çıkar:
• ’nın karekökünü bul:
• ’e ’ü ekle: 5
• ’ten ’ü çıkar:
• Aranan sayılar 5 ve ’dir.

Babilliler, modern gösterimi ve şeklinde olan doğrusal denklem sistemlerini çözerken düşündükleri geometrik yol aşağıda açıklanmıştır. Babilliler çözümü yaparken, kare ve dikdörtgenin alanı ve çevresinden faydalanmışlardır.

Şekil 4’de görüldüğü gibi Babillilerin geometrik bir düşünce biçimiyle yaptıkları çözümün modern biçimde ifadesi şu şekildedir: Öncelikle b’nin yarısı alınarak  şeklinde bir eşitliğe ulaşılır. Ardından bu denklemdeki ifade, x ve y birim kenarlı bir dikdörtgen üzerinde gösterilir. y birim uzunluklu kenardan  arttırıp, birim uzunluklu kenardan kısaltarak, br uzunluktaki kenarlar elde edilir. Yapılan bu işlemler sonucu;

elde edilir.

Bu eşitlikten de ; ve cinsinden yazılarak ;  ve  elde edilir

Denklem sisteminin kökleri olan x ve y’yi bulmak için bulunan bu kural, Babilliler'in yaptıkları sözel çözümde görülebilir. Sonuç olarak, Babillilerin lineer denklem sistemlerini ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri düz yazı formatında ancak geometrik bir düşünce yapısıyla çözdükleri söylenebilir. Bunun yanında, Babilliler, en, boy, alan gibi kavramları içeren cebirsel problemlerle uğraşmışlardır. Sonuçta Babillilerin bilinmeyen olarak geometrik şekillerin kenar uzunluklarını tanımladıkları düşünülebilir.

Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi'nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER'e ait "CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ"  başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.

Rhind Papirüsü

Bu yöntem 15. ve 16. yüzyıllarda eski Mısır dışında, Hintliler ve İslam dünyası matematikçileri tarafından da kullanılmıştır. Ayrıca bu yöntemin 16. yüzyıl İtalyan matematikçilerinden Nicole Tartalia, Philipo Calandri ve İspanyol matematikçi Tosca tarafından da kullanıldığı bilinmektedir.

Eski Mısır’da cebirsel denklemlerin çözümlerinde bugün kullandığımız (x, y, x^2,…) gibi semboller kullanılmamıştır. Her şey düzyazı biçiminde yazılmıştır. Rhind papirüsünde “Bir miktar ve bu miktarın yedide birinin toplamı 19 olduğuna göre, bu miktarın büyüklüğü nedir?” şeklinde ifade edilen 24. problemin çözümü bugünkü gösterimlerle aşağıdaki gibi açıklanabilir:

Şekil 1 incelendiğinde, a / 7 ifadesini tamsayı yapan 7 değerinin bilinmeyen yerine yazıldığı görülmektedir. Elde edilen sonucun doğru sonuç olmadığı düşünülerek, “Bilinmeyen 7 iken sonuç 8 oluyorsa, sonucun 19 olması için bilinmeyen ne olmalıdır?” şeklindeki bir soru ile doğru sonuca ulaşılmaya çalışılmıştır (Ofir ve Arcavi, 1992). Çözüm incelediğinde Eski Mısır’da orantısal düşünmenin matematik yaparken kullanıldığı görülmektedir. Nitekim Eski Mısır’da firavunların hükümdarlığı sürecinde, orantısal düşünme matematiğin merkezinde yer almıştır. Çünkü vergiler, ürün miktarı ile orantılı şekilde alınmakta, binalar inşa edilirken belli orantılara bağlı olarak yapılmaktaydı. Eski Mısır papirüsünden alınan bir problem bu durumu ortaya koymaktadır. “Düşünün ki 450 hektarlık arpaya sahipsiniz ve her 10 hektarın 1 hektarını vergi olarak vermek zorunda olduğunuza göre, bu üründen kaç hektarlık vergi verirsiniz?” (Lumpkin, 1997). Eski Mısır’da doğrusal olmayan denklemler üzerinde de yanlışı deneme yolunun kullanıldığını görmekteyiz. Örneğin, Berlin papirüsünde “İki karenin alanları toplamı 100’dür. Karelerden birinin kenar uzunluğunun üç katı, diğer karenin kenar uzunluğunun dört katına eşit olduğuna göre, karelerin kenar uzunluklarını bulunuz?” sorusunun Mısır’da yapılan çözümü ve modern gösterimi Tablo 1’de verilmiştir.

Yukarıdaki çözüm incelendiğinde, Eski Mısır’daki insanların, doğrusal olmayan denklemleri çözerken orantısal düşünme ve yanlışı deneme yolları dışında, karekök alma işlemini de kullandıkları görülecektir (Lumpkin, 1997). Sonuç olarak, çeşitli denklemlere ve çözüm yöntemlerine rastlansa da, Eski Mısır’da bugünkü anlamda cebirin bir bilim olarak var olduğuna söylemek oldukça zordur (Smith, 1925).

Eski Mısır’da olduğu gibi cebir üzerine çalışmaları Babillilerde de görmekteyiz. Eski Mısır’da cebir üzerine yürütülen çalışmalar yanlışı deneme ve orantısal düşünme üzerine dayalı iken Babillilerde geometrik bir düşünce yapısıyla ikinci derece denklemlerin ve doğrusal denklem sistemlerinin çözümünün yapıldığı görülmektedir.

Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi'nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER'e ait "CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ"  başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.

Nevşehir Özel Kardelen Koleji tarafından 17 Mart 2012 Cumartesi günü yapılan 2. Matematik Olimpiyatları ödül töreni Forum Kapadokya A.V.M' de düzenlenen tören ile yapıldı.

Özel Kardelen Koleji 2. Matematik Olimpiyatları ödül törenine Nevşehir Vali Vekili Mustafa Kemal Keskin, Nevşehir Belediye Başkan Yardımcısı Yusuf Kaya, Milli Eğitim Müdürü Abdulgafur Büyükfırat, Milli Eğitim Müdür Yardımcıları, Kardelen Koleji Genel Müdürü Ali Kaplan, okul müdürleri, öğrenciler ve öğrenci velileri katıldı. Kardelen Koleji 2. Matematik Olimpiyatlarında 6. sınıflarda 1.liği Gülşehir Karavezir İlköğretim Okulundan Remzi Ziya Yılmaz elde ederken 2.'liği Mihriban Emin Gülen İlköğretim Okulu'ndan Şaban Cankaş, 3.'lüğü Özel Kardelen Koleji öğrencisi Hazal Tekinarslan elde etti. 7.sınıflarlarda 1.'liği Kardelen Koleji öğrencilerinden Mehmet Mert Kabacaoğlu, 2.'liği 20 Temmuz İlköğretim Okulu öğrencilerinden Mehmet Dönmez ve 3.'lüğü ise Kardelen Koleji öğrencilerinden Samed Çelik elde etti. Özel Kardelen Koleji 8. sınıflar Matematik Olimpiyatları sonuçlarına göre ise 1.'liği Kardelen Koleji öğrencilerinden Birkan Bilir ve 3.'lüğü Kardelen Koleji öğrencilerinden İlayda Oğuş elde etti.

Kardelen Koleji 2. Matematik Olimpiyatlarında 1. olan öğrencilere cep telefonu, ikinci olan öğrencilere dijital fotoğraf makinesi ve üçüncü olan öğrencilere ise mp4 hediye edildi. Matematik Olimpiyatlarında 3. olan öğrencilere ödülleri Milli Eğitim Müdür Yardımcıları Osman Balak, Fazıl Parlak ve Nail Yavuz tarafından verildi. 2.olan öğrencilere ödülleri Nevşehir Belediye Başkan Yardımcı Yusuf Kaya tarafından verilirken olimpiyatlarında 1. olan öğrencilere ödülleri Vali Vekili Mustafa Kemal Keskin tarafından verildi.

-------------------

Kütahya Simav Pianalitik Dershanesi geçen yıl ilçe genelindeki 22 İlköğretim Okulu 5 ve 6.Sınıflar arasında eleme usulü ile "Matematik Bilgi Yarışması" düzenledi. 19 Mayıstaki 5,9'luk deprem araya girince ödüller sahiplerine verilemedi.

Dershane Müdürü Hüseyin Cihan şimdi okulları dolaşarak geçen yıl veremedikleri ödülleri sahiplerine ulaştırmaya çalıştıklarını bildirdi.

Cihan, yarışmada 5 ve 6. sınıflarda ilçe birinciliğini Çitgöl İlköğretim, ilçe ikinciliğini Yusuf Koyuncuoğlu, üçüncülüğü de Osmanbey İlköğretim Okulu miniklerinin kazandığını vurguladı.

Yarışmaya katılarak ödül kazanan öğrenci ve okulları dershane yönetimi ile birlikte ziyaret ettiklerini dile getiren Cihan, "Arkadaşlarımızla birlikte okullarımızı ziyaret ederek kazandıkları madalya, plaket ve para ödüllerini kendilerine takdim ediyoruz. Geçen yıl düzenlemiş olduğumuz "Matematik Bilgi Yarışması"nın halen okullarda gündem oluşturması bizi mutlu etti. Eğitimci arkadaşlarımızdan aynı yarışmanın bu yıl da düzenlenmesi hususunda talepler aldık. Değerlendireceğiz. Amacımız Simav'da eğitimin kalitesini yükseltmek ve çocuklarımıza matematiği sevdirmek" dedi.

-----------------------------

Özel Nil ve Bahaddin Bey İlköğretim Okulları tarafından Diyarbakır genelinde düzenlenen 3. Diyarbakır Matematik Olimpiyatları(DİMATO)'nın birincilerine ödülleri verildi. Olimpiyatlarda ilk 10'a giren okul ve öğrenciler de ödüllerini aldı.

Özel Nil Koleji Konferans Salonu'nda düzenlenen ödül törenine Diyarbakır Vali Yardımcısı Cemal Hüsnü Kansız, Nehir Eğitim Kurumları Genel Müdürü Yılmaz Demir, Kayapınar İlçe Milli Eğitim Müdürü Şakir Yaman Özel Nil İlköğretim Okulu Müdürü Ali Pehlivan, aileler ve öğrenciler katıldı. Yarışmaya 67 okuldan 850 öğrenci katıldı. Hazırlanan toplam 40 soruyu 2 saatte yanıtlayan öğrenciler arasında dereceye girenlere ödülleri verildi.

Ödül töreninde konuşma yapan Özel Nil İlköğretim Okulu Müdürü Ali Pehlivan, Nil ve Bahaddin Bey okullarıyla birlikte olimpiyatlarının birlikte organize edildiğini söyledi.

Diyarbakır genelinden 67 okulun katıldığını dile getiren Pehlivan, 850 öğrencinin katıldığını belirtti. Öğrencilerin TÜBİTAK yarışmalarına hazırlanması ve katılması için matematik olimpiyatın düzenlendiğini ifade eden Pehlivan, "Her okulda ayrı ayrı elemeler yapıldı. Okulda dereceye giren öğrencilerden 12 kişilik takımlar çıkarıldı. Bu takımların da matematik sorularından oluşan bir sınava tabi tutuldu. Sınavda dereceye girenler burada ödüllendirilecek." dedi.

Matematik yarışmasında dereceye giren ilk 4 okul şöyle: "1. Yenişehir İlköğretim Okulu, 2. Hantepe Eğitim Şehitleri İlköğretim Okulu, 3. Mehmetçik İlköğretim Okulu, 4. Vali Kurt İsmailpaşa İlköğretim Okulu."

Matematik sınavındaki soruların yanıtlayan ve birinci olan Vali Kurt İsmailpaşa İlköğretim Okulu öğrencisi Adar Eker, ikinci olan Yenişehir İlköğretim Okulu öğrencisi Yusuf Güneş olurken üçünsü ise Yenişehir İlköğretim Okulu öğrencisi Canberk Aydın oldu.

Programda konuşma yapan Diyarbakır Vali Yardımcısı Cemal Hüsnü Kansız, öğrencilerin her zaman bir sınav içerisinde bulunduğunu kaydetti. Dünyada ki düzenin de bir hesap olduğunu ifade eden Kansız, dereceye giren öğrencilerden her zaman başarılı olma sözü aldı.

Önemli: Bu yıl, önceki yıllardan farklı olarak, ikinci aşamaya geçen tüm öğrencilere İstanbul Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü'nü burssuz kazanmaları halinde öğrenim bursu verilecektir. Detayları Yarışma Kuralları sayfasında bulabilirsiniz.

Cahit Arf Matematik Günleri 2012 faaliyet takvimi aşağıda verilmiştir.

Önceki yarışma soru ve cevaplarını arşiv sayfalarında bulabilirsiniz.

Cahit Arf Matematik Günleri ile ilgili duyuruları e-mail yoluyla almak için duyuru listesine üye olabilirsiniz.

2012 yılı ödülleri:

İkinci Aşamaya geçen tüm öğrencilere karşılıksız öğrenim bursu.

Detaylar için Yarışma Kuralları sayfasına başvurunuz.

Birinciye: 1.500 TL + kitap armağanı

İkinciye: 1.300 TL + kitap armağanı

Üçüncüye: 1.100 TL + kitap armağanı

• İlk 10 katılımcıya madalya ve liselerine şilt Belirtilmişse öğretmene teşekkür belgesi İkinci seansa katılanlara başarılarını belgeleyen bir sertifika ve kitap armağanı

DİP NOT: Nesin Vakfı Duyurusudur:

Bilgi Universitesi, Matematik Bolumu'nu burssuz kazanan ogrencilere burs verilecektir. Burstan yararlanmak icin Cahit Arf Matematik Yarismasi'nda dereceye girmek gerekiyor, bu da yaklasik 30 ogrenci demek. Yarismaya okul olarak ya da kisisel olarak katilabilirsiniz. Yarismanin ayrintilari ve eski yarismalar http://arf.math.bilgi.edu.tr/ sayfasinda.

Ogrencileri yanlis yonlendirmemek adina, Bilgi Matematik Bolumu'nun amacinin en ust seviyede arastirmaci akademisyen yetistirmek oldugunu, dolayisiyla hic kolay bir bolum olmadigini belirtmek gerekir saniyorum. Kolayliklar dilerim.