Babillilerin ardından cebir uğraşı Eski Yunan’daki matematik bilginleriyle devam ettirilmiştir. Eski Yunan’da cebir dendiğinde akla gelen ilk isim Euclid’dir. Euclid (M.Ö 300)’in en önemli yapıtı olan elementler, 13 kitaptan oluşmaktadır.

İkinci kitabında Euclid’in cebiri geometrik inşalar üzerine kurduğu anlaşılmaktadır. Kitabındaki, birinci, dördüncü, beşinci ve altıncı önermeler aşağıda verilmiştir.

Elementler, Önerme 2.1:Birbirine paralel olan iki düz çizgi alınırsa ve bu çizgilerden herhangi biri çok sayıdaki doğru parçası ile kesilirse, iki paralel doğru ile oluşturulan büyük dikdörtgen, küçük dikdörtgenlerin toplamına eşittir”.

Elementler, Önerme 2.4:Bir düz çizgi rastgele kesilirse, büyük kare, doğru parçaları üzerindeki kareler ve doğru parçalarının oluşturduğu dikdörtgenlerin toplamına eşittir

 

 

Yukarıda verilen önermeler, Euclid’in çarpma işleminin dağılma özelliğini ve iki terimin toplamının parantez karesi özdeşliğinin açılımının farkında olduğunu ortaya koymaktadır. Euclid’in beşinci ve altıncı önermeleri, denklemlerin çözümlerinde Babilliler'de olduğu gibi geometrik bir modelleme düşüncesinin hakim olduğunu göstermektedir. Ancak Babillilerin düz yazı biçiminde yaptığı çözümler, araştırmacılar tarafından geometrik modellere çevrilmişken, Euclid’in kitabındaki çözümlerin geometrik modellemelerle yapıldığı görülmektedir. Euclid’in beşinci ve altıncı önermeleri aşağıda
verilmiştir.

Elementler, Önerme 2.5:Bir düz çizgi, eşit olan ve eşit olmayan doğru parçaları ile kesilirse, düz doğru üzerindeki kare ile birlikte şeklin bütününde eşit olmayan doğru parçalarının oluşturduğu dikdörtgen, oluşan karelerden birine eşittir

Elementler, Önerme 2.6:Düz bir çizgi, iki eşit parçaya bölünüp, bu çizginin yanına ek bir çizgi eklenirse, tüm çizgilerin oluşturduğu dikdörtgen ile ikiye bölünün ilk çizginin oluşturduğu karelerden birinin toplamı, sonradan eklenen çizgi ile ilk çizgiyi ikiye bölen doğru parçası ile oluşturulan kareye eşittir


 

Euclid’in düşünce biçimi Babillilerin düşünce biçimine benzemektedir. Eğer |AD|=y ve |DB|=x olarak alınırsa, yukarıdaki ilk eşitliğin, x+y=b, x.y=c ve ikinci eşitliğin y-x=b, y.x=c şekline dönüştüğü görülecektir. Euclid’in ortaya koyduğu önerme modelleri, Babillilerin geometrik düşünce yapısına benzemektedir. Bu durum, Eski Yunan’daki matematik bilginlerinin Babillilerden etkilenmiş olma olasılığını arttırmaktadır.Eski Yunan’da, Euclid ve Apollonius zamanının cebirinin de Babil tabletlerinde olduğu gibi geometrik bir düşünceyle yapıldığı, Euclid’in Elementler kitabındaki önermeleri ile gösterilmiştir. Kısacası Babillilerin ve Euclid’in döneminde cebir kavramının henüz ortaya çıkmadığı, cebirin geometrikselleştirildiği söylenebilir.

Euclid’in geometrik modellemeyle çözdüğü diğer bir cebir problemi aşağıdaki gibidir:

AB doğru parçasının boyu n olsun. AB doğru parçasını x ve n-x olarak öyle bölünüz ki, n(n-x)=x^2 olsun. Euclid bu problemi oluşturduğu kareler yardımıyla çözmüştür.

Euclid ilk önce ABCD karesini oluşturuyor. |AD |’nin orta noktası E’yi B köşesine birleştiriyor ve ABE dik üçgenini elde ediyor. Sonra |EF |=|EB | olacak şekilde |DA|’yı uzatarak F noktasını belirliyor ve FGAH karesini elde ediyor. Sırasıyla;

Cebir  alanında önemli çalışmaları olan bir diğer matematik bilgini ise M.S 250’lerde yaşamış  olan  Yunanlı  Diophantus’tur.  Euclid  cebiri geometrikleştirirken,  Diophantus sembolleştirmeye  ve  analitik  hale  sokmaya  çalışmıştır. “Arithmetica”  (13  kitabın  6’sı  mevcuttur),  “On  Polygonal  Number”  (Bir  bölümü mevcuttur),  “Porisms”  (Kayıp)  isimlerinde  üç  kitap  yazmıştır.  Kitabının  giriş  kısmında, aritmetik problemlerini çözmek için göstereceği yolların takip edilmesi gerektiğini ifade etmiştir. Mevcut bölümleri, 189 problemin çözümünü içermektedir.

Diophantus, çok değişkenli iki veya üç denklemden oluşan, sınırsız sayıda rasyonel çözümü olan  denklemlerin  çözümleriyle  uğraşmıştır.  Bu  denklemler,  “Diophantine  denklemleri” olarak  bilinmektedir.  Pisagor  üçlülerinin bulunması  ve Diophantus’tan  önce  yaşamış  olan  Yunanlı  matematikçi  Archimedes  (M.Ö  287-212)’in büyük  baş  hayvan  problemi,  bu  tip  denklemlerle  ilk  defa  Diophantus’un  uğraşmadığını göstermektedir.  Archimedes’in  büyük  baş  hayvan probleminde, dört farklı renkte olan boğa ve ineklerin sayısının kaç olduğu istenmektedir. Yani  denklem  sekiz  bilinmeyenden  oluşmaktadır.  Archimedes  problemin  çözümü  için oluşturduğu lineer eşitlikleri, tek bir eşitliğe indirgeyerek,                    x^2 - 4,729,494y^2=1eşitliğine ulaşmıştır. Buradan y sayısının 9314’ün bir katı olduğunu tespit etmiştir.

İlerleyen  yıllarda  bu  tip  eşitlikler  Pell  eşitlikleri  olarak  adlandırılmıştır.  Bugün  Pell eşitlikleri  olarak  bildiğimiz  ve  Archimedes’in  de  uğraştığı y^2=ax^2+1 tipindeki denklemler  için  Hintli  matematikçi  Brahmagupta  ve  Bhaskara  ilk  defa  genel  çözüm yöntemleri  ortaya  koymuşlardır.  Bu  durum,  Diophantus’tan  önce  ve  sonra  bu  tipdenklemlerle  uğraşıldığını,  eşitliklerin  doğru  ve  genel  çözümlerinin  yapıldığını  ortaya koymaktadır.

Diophantus,  genel  bir  çözüm  algoritması  ve  sistematik  bir  yöntem geliştirmemiştir.  Diophantus,  birden  fazla  bilinmeyeni  tanımlayamamıştır.  Buna  paralel olarak, Babillilerin yaptıkları gibi, tüm bilinmeyenleri bir parametre cinsinden ifade ederek çözüme ulaşmaya çalışmıştır.Diophantus’un dördüncü kitabındaki problemlerden biri, “Öyle iki sayı bul ki, bu iki sayının toplamı, bu iki sayının küpler toplamına eşit olsun” şeklindedir. Diophantus bazı problemlerin çözümlerinde, Eski Mısırda kullanılan yanlışı deneme yolunu da kullanmıştır.

Bir  sayının  küpü  ile  herhangi  bir  sayının  toplamı,  küpü  alınan  sayı  ile  diğer  sayının toplamlarının  küpüne  eşittir”  problemini,  yanlışı  deneme  yolunu  kullanarak  çözmüştür.

Diophantus’un negatif sayıları kabul etmediğini beşinci kitabının ikinci problemine verdiği cevaptan anlayabiliriz. Diophantus, negatif bir sayı  ile  negatif  bir  sayının  çarpımının  pozitif,  negatif  bir  sayı  ile  pozitif  bir  sayının çarpımının  negatif  olduğunun  farkında  olmasına  rağmen,  denklem çözümlerinde  negatif köklerin varlığını ortaya koyamamıştır. 4x+20= 4 eşitliğinin çözümü için Diophantus, “Bu çok  anlamsız,  çünkü  4,  20’den  daha  küçük”  cevabını  vermiştir.  Dolayısıyla  20  ile toplandığında 4 sonucunu verecek herhangi bir sayının olamayacağını düşünmüştür.

Toplamları 20, karelerinin toplamı ise 208 olan sayılar nelerdir?”  sorusunu  ise  daha sonra Harizmi’de göreceğimiz farklı bir parametre tanımlama yoluyla çözmüştür.

Modern gösterimi  x+y=20  ve  x^2 + y^2=208  olan  sorunun  çözümü  için  Diophantus  z  parametresini x=10+z ve y=10 – z şeklinde kullanarak sonuca ulaşmıştır. x^2 + y^2=a^2 tipindeki denklemleri çözerken, a için 4 gibi kesin bir değer vererek çözüme başlamış, y değişkenini x cinsinden tanımlama yoluna gitmiştir.

x^2+y^2=16 eşitliğinde y=2x-4 tanımlamasını yapmış ve  4x^2+16–16x=16–x^2 eşitliğini düzenleyerek çözüme ulaşmıştır. Diophantus, tamamlama ve  indirgeme  işlemlerini  yaparak, 5x^2=16x  olacak  şekilde  eşitliği  düzenlemiştir. Eşitliğin sonsuz çözümü  olmasına  rağmen,  eşitliğin kökü  olarak  sadece  16/5  ve  12/5  rasyonel  sayılarını dikkate  almıştır.  Derbyshire  (2006),  bu çözümün  etkileyici  bir  çözüm  olmadığını  ifade etmektedir.  Çünkü  Diophantus, x^2+y^2=a^2 tipindeki  sınırsız  rasyonel  çözümleri  olan denklemlerle uğraşmasına rağmen, çözüm olarak sadece 16/5 ve 12/5 rasyonel sayılarını kabul  etmiştir.  Sıfır  için  sembol  kullanmadığından, kök  olarak  sıfırı  göz  ardı  etmiştirDiophantusun cebir alanına yaptığı en büyük katkı cebirsel gösterimlerde kısaltmaları kullanmasıdır. Diophantus tarafından kullanılan kısaltmalar ve modern gösterim örnekleri Tablo 2’de verilmiştir

Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi'nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER'e ait "CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ"  başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.