Babillilerin ardından cebir uğraşı Eski Yunan’daki matematik bilginleriyle devam ettirilmiştir. Eski Yunan’da cebir dendiğinde akla gelen ilk isim Euclid’dir. Euclid (M.Ö 300)’in en önemli yapıtı olan elementler, 13 kitaptan oluşmaktadır.
İkinci kitabında Euclid’in cebiri geometrik inşalar üzerine kurduğu anlaşılmaktadır. Kitabındaki, birinci, dördüncü, beşinci ve altıncı önermeler aşağıda verilmiştir.
Elementler, Önerme 2.1: “Birbirine paralel olan iki düz çizgi alınırsa ve bu çizgilerden herhangi biri çok sayıdaki doğru parçası ile kesilirse, iki paralel doğru ile oluşturulan büyük dikdörtgen, küçük dikdörtgenlerin toplamına eşittir”.
Elementler, Önerme 2.4: “Bir düz çizgi rastgele kesilirse, büyük kare, doğru parçaları üzerindeki kareler ve doğru parçalarının oluşturduğu dikdörtgenlerin toplamına eşittir”
Yukarıda verilen önermeler, Euclid’in çarpma işleminin dağılma özelliğini ve iki terimin toplamının parantez karesi özdeşliğinin açılımının farkında olduğunu ortaya koymaktadır. Euclid’in beşinci ve altıncı önermeleri, denklemlerin çözümlerinde Babilliler’de olduğu gibi geometrik bir modelleme düşüncesinin hakim olduğunu göstermektedir. Ancak Babillilerin düz yazı biçiminde yaptığı çözümler, araştırmacılar tarafından geometrik modellere çevrilmişken, Euclid’in kitabındaki çözümlerin geometrik modellemelerle yapıldığı görülmektedir. Euclid’in beşinci ve altıncı önermeleri aşağıda
verilmiştir.
Elementler, Önerme 2.5: “Bir düz çizgi, eşit olan ve eşit olmayan doğru parçaları ile kesilirse, düz doğru üzerindeki kare ile birlikte şeklin bütününde eşit olmayan doğru parçalarının oluşturduğu dikdörtgen, oluşan karelerden birine eşittir”
Elementler, Önerme 2.6: “Düz bir çizgi, iki eşit parçaya bölünüp, bu çizginin yanına ek bir çizgi eklenirse, tüm çizgilerin oluşturduğu dikdörtgen ile ikiye bölünün ilk çizginin oluşturduğu karelerden birinin toplamı, sonradan eklenen çizgi ile ilk çizgiyi ikiye bölen doğru parçası ile oluşturulan kareye eşittir”
Euclid’in düşünce biçimi Babillilerin düşünce biçimine benzemektedir. Eğer |AD|=y ve |DB|=x olarak alınırsa, yukarıdaki ilk eşitliğin, x+y=b, x.y=c ve ikinci eşitliğin y-x=b, y.x=c şekline dönüştüğü görülecektir. Euclid’in ortaya koyduğu önerme modelleri, Babillilerin geometrik düşünce yapısına benzemektedir. Bu durum, Eski Yunan’daki matematik bilginlerinin Babillilerden etkilenmiş olma olasılığını arttırmaktadır.Eski Yunan’da, Euclid ve Apollonius zamanının cebirinin de Babil tabletlerinde olduğu gibi geometrik bir düşünceyle yapıldığı, Euclid’in Elementler kitabındaki önermeleri ile gösterilmiştir. Kısacası Babillilerin ve Euclid’in döneminde cebir kavramının henüz ortaya çıkmadığı, cebirin geometrikselleştirildiği söylenebilir.
Euclid’in geometrik modellemeyle çözdüğü diğer bir cebir problemi aşağıdaki gibidir:
AB doğru parçasının boyu n olsun. AB doğru parçasını x ve n-x olarak öyle bölünüz ki, n(n-x)=x^2 olsun. Euclid bu problemi oluşturduğu kareler yardımıyla çözmüştür.
Euclid ilk önce ABCD karesini oluşturuyor. |AD |’nin orta noktası E’yi B köşesine birleştiriyor ve ABE dik üçgenini elde ediyor. Sonra |EF |=|EB | olacak şekilde |DA|’yı uzatarak F noktasını belirliyor ve FGAH karesini elde ediyor. Sırasıyla;
Cebir alanında önemli çalışmaları olan bir diğer matematik bilgini ise M.S 250’lerde yaşamış olan Yunanlı Diophantus’tur. Euclid cebiri geometrikleştirirken, Diophantus sembolleştirmeye ve analitik hale sokmaya çalışmıştır. “Arithmetica” (13 kitabın 6’sı mevcuttur), “On Polygonal Number” (Bir bölümü mevcuttur), “Porisms” (Kayıp) isimlerinde üç kitap yazmıştır. Kitabının giriş kısmında, aritmetik problemlerini çözmek için göstereceği yolların takip edilmesi gerektiğini ifade etmiştir. Mevcut bölümleri, 189 problemin çözümünü içermektedir.
Diophantus, çok değişkenli iki veya üç denklemden oluşan, sınırsız sayıda rasyonel çözümü olan denklemlerin çözümleriyle uğraşmıştır. Bu denklemler, “Diophantine denklemleri” olarak bilinmektedir. Pisagor üçlülerinin bulunması ve Diophantus’tan önce yaşamış olan Yunanlı matematikçi Archimedes (M.Ö 287-212)’in büyük baş hayvan problemi, bu tip denklemlerle ilk defa Diophantus’un uğraşmadığını göstermektedir. Archimedes’in büyük baş hayvan probleminde, dört farklı renkte olan boğa ve ineklerin sayısının kaç olduğu istenmektedir. Yani denklem sekiz bilinmeyenden oluşmaktadır. Archimedes problemin çözümü için oluşturduğu lineer eşitlikleri, tek bir eşitliğe indirgeyerek, x^2 – 4,729,494y^2=1eşitliğine ulaşmıştır. Buradan y sayısının 9314’ün bir katı olduğunu tespit etmiştir.
İlerleyen yıllarda bu tip eşitlikler Pell eşitlikleri olarak adlandırılmıştır. Bugün Pell eşitlikleri olarak bildiğimiz ve Archimedes’in de uğraştığı y^2=ax^2+1 tipindeki denklemler için Hintli matematikçi Brahmagupta ve Bhaskara ilk defa genel çözüm yöntemleri ortaya koymuşlardır. Bu durum, Diophantus’tan önce ve sonra bu tipdenklemlerle uğraşıldığını, eşitliklerin doğru ve genel çözümlerinin yapıldığını ortaya koymaktadır.
Diophantus, genel bir çözüm algoritması ve sistematik bir yöntem geliştirmemiştir. Diophantus, birden fazla bilinmeyeni tanımlayamamıştır. Buna paralel olarak, Babillilerin yaptıkları gibi, tüm bilinmeyenleri bir parametre cinsinden ifade ederek çözüme ulaşmaya çalışmıştır.Diophantus’un dördüncü kitabındaki problemlerden biri, “Öyle iki sayı bul ki, bu iki sayının toplamı, bu iki sayının küpler toplamına eşit olsun” şeklindedir. Diophantus bazı problemlerin çözümlerinde, Eski Mısırda kullanılan yanlışı deneme yolunu da kullanmıştır.
“Bir sayının küpü ile herhangi bir sayının toplamı, küpü alınan sayı ile diğer sayının toplamlarının küpüne eşittir” problemini, yanlışı deneme yolunu kullanarak çözmüştür.
Diophantus’un negatif sayıları kabul etmediğini beşinci kitabının ikinci problemine verdiği cevaptan anlayabiliriz. Diophantus, negatif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımının pozitif, negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımının negatif olduğunun farkında olmasına rağmen, denklem çözümlerinde negatif köklerin varlığını ortaya koyamamıştır. 4x+20= 4 eşitliğinin çözümü için Diophantus, “Bu çok anlamsız, çünkü 4, 20’den daha küçük” cevabını vermiştir. Dolayısıyla 20 ile toplandığında 4 sonucunu verecek herhangi bir sayının olamayacağını düşünmüştür.
“Toplamları 20, karelerinin toplamı ise 208 olan sayılar nelerdir?” sorusunu ise daha sonra Harizmi’de göreceğimiz farklı bir parametre tanımlama yoluyla çözmüştür.
Modern gösterimi x+y=20 ve x^2 + y^2=208 olan sorunun çözümü için Diophantus z parametresini x=10+z ve y=10 – z şeklinde kullanarak sonuca ulaşmıştır. x^2 + y^2=a^2 tipindeki denklemleri çözerken, a için 4 gibi kesin bir değer vererek çözüme başlamış, y değişkenini x cinsinden tanımlama yoluna gitmiştir.
x^2+y^2=16 eşitliğinde y=2x-4 tanımlamasını yapmış ve 4x^2+16–16x=16–x^2 eşitliğini düzenleyerek çözüme ulaşmıştır. Diophantus, tamamlama ve indirgeme işlemlerini yaparak, 5x^2=16x olacak şekilde eşitliği düzenlemiştir. Eşitliğin sonsuz çözümü olmasına rağmen, eşitliğin kökü olarak sadece 16/5 ve 12/5 rasyonel sayılarını dikkate almıştır. Derbyshire (2006), bu çözümün etkileyici bir çözüm olmadığını ifade etmektedir. Çünkü Diophantus, x^2+y^2=a^2 tipindeki sınırsız rasyonel çözümleri olan denklemlerle uğraşmasına rağmen, çözüm olarak sadece 16/5 ve 12/5 rasyonel sayılarını kabul etmiştir. Sıfır için sembol kullanmadığından, kök olarak sıfırı göz ardı etmiştirDiophantusun cebir alanına yaptığı en büyük katkı cebirsel gösterimlerde kısaltmaları kullanmasıdır. Diophantus tarafından kullanılan kısaltmalar ve modern gösterim örnekleri Tablo 2’de verilmiştir
Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi‘nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER’e ait “CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ” başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.