İlk kez 14. yüzyılda kullanılan “limit” kelimesi Latin kökenlidir ve Latincede “sınır ve sınırlılık” anlamına gelmektedir. Matematikte süreklilik, türev ve integral kavramlarının temelinde yer alan matematikteki ana kavramlardan biridir. Ayrıca fonksiyonların bir nokta civarındaki davranışlarını incelerken en kullanışlı kavramdır. Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) limit kavramını ilk defa matematiksel temellere dayandırmıştır. Ancak limit kavramının ilk sağlam tanımı Augustin Louis Couchy tarafından yapılmıştır. Günümüzde kullanılan matematiksel tanımı ise Karl Weierstrass (1815-1897) tarafından oluşturulmuştur.
Ortaöğretim programında limit, “türev” başlığı altında yer almaktadır. “12.5.1.1. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, soldan limit ve sağdan limit kavramlarını açıklar“ kazanımını seçip Desmos üzerinden bir etkinlik tasarladım. Etkinlikte ilk olarak öğrencilerden Şekil 1’de verilen Desmos web sayfasına girmeleri istenir.
Öğretmen Desmos’ta daha önceden oluşturduğu etkinliğin kodunu öğrencilere ile paylaşır. Öğrenciler sayfada yer alan ve Şekil 1’de de verilen turuncu ile çevrelenen alana etkinlik kodunu girer. Böylece etkinliğimize giriş yapılmış olunur.
Etkinliğimizin ilk aşamasında öğrencilere limit kavramı sezdirilir. Şekil 2’de yer alan resimde bir off-limit levhası vardır. Öğrencilere “Resimdeki uyarı levhasında off-limit yazmaktadır. Off-limit uyarısını görürseniz o alana giriş yapamazsınız” şeklinde bir açıklama yapılır. Açıklamadan sonra, öğrencilere “Fotoğraftaki alana giriş yapamıyoruz. Peki bu alan etrafında gezebilir miyiz? Bunun için iznimiz var mıdır? Yani ikinci resimde gördüğünüz kırmızı ile çevrili alanın bir off-limit alanı olduğunu düşünürsek kırmızı alana en yakın nerelerde bulunabiliriz?” şeklinde sorular sorularak fikirlerini cevap kısmı için ayrılan alana yazmaları istenir. Bu bölümde öğrencilere “Günlük dilde “limit” kelimesi ne anlama gelir?” gibi bir soru da sorulabilir. Cevaplarını paylaşmak isteyen öğrencilerin düşünceleri dinlenir. Soru-cevap sürecinden sonra öğretmen , öğrencilere “Limit herhangi bir şeyin sınırlarını tanımlamak için kullanılır. Örneğin, hız sınırı size yasal olarak izin verilen maksimum hızı ve kredi kartı limitiniz kullanabileceğiniz maksimum bakiyeyi bildirir” şeklinde açıklamalar yapabilir.
Limit kavramının matematiksel tanımı için bir noktaya yığılma, yaklaşma gibi kavramların somutlaşması amacıyla bu etkinliğin yeni aşamasına geçilir. Aynı zamanda öğretim programında limit kavramının açıklanması, bir x değerinin verilen bir sayıya yaklaşmasından hareketle, tablo ve grafikler yardımıyla yapılır. Bunun için f(x)=x fonksiyonunu grafik üzerinde oluşturmaları, daha sonra (2,2) noktasını koordinat düzleminde işaretlemeleri ve son olarak Desmos üzerinde oluşturulan tablo üzerinde verilen x değerleri için f fonksiyonu altındaki görüntülerini bulmaları istenir. Öğrenciye “Kırmızı noktaların arasında bir ilişki görebiliyor musunuz?” şeklinde sorular sorulabilir.
Şekil 4 
Şekil 5
Şekil 4’te sağdan limit tanımı, Şekil 5’te soldan limit tanımı sezdirilir. Koordinat düzleminde çizilen y=x2 fonksiyonunun grafiği üzerinde hareket eden siyah nokta için x=2 noktasına yaklaştıkça y koordinatlarının hangi y değerine yaklaştığı öğrencilere sorulur. Öğrenci açıklama alanına cevabını yazar. Cevaplar tartışılır ve öğretmen doğru cevabın ne olduğunu ve neden olduğunu öğrenciye açıklar.
Şekil 6 
Şekil 7
Şekil 6‘te sağdan ve soldan limit tanımı, Şekil 7’de ise limitin formel tanımı etkinlik üzerinden verilir.
Şekil 8 
Şekil 9
Etkinliğin sıradaki aşamasında örneklere geçilir. Ders kitabının ve kaynak kitap incelenmesinden sonra seçilen bir noktada limitin var olması için bir fonksiyonun o noktada tanımlı olmasının gerekmediğine vurgu yapılmıştır. Bu nedenle Şekil 8’ de öğrenciye iki fonksiyon üzerinden tanım kümesinde olmayan bir noktadaki limitinin var olup olmadığı sezdirilir. Öğrenciye “x=1 noktasında limit var mıdır? Limit tanımı ne idi? Sağdan ve soldan limitler birbirine eşit midir? Fonksiyon bu noktada tanımlı mıdır? Tanımlı olmaması bu fonksiyonun x=1 noktasındaki limitini nasıl etkiler?” gibi sorular sorulabilir. Öğrencilerin cevapları tartışılır.
Şekil 9’da parçalı tanımlı bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin var olup olmadığı öğrenciye sorulur. Yine bir önceki örnekteki gibi tanım kümesinde olmayan bir nokta verilmiştir. Öğrencilerin cevapları tartışılır.
Etkinliğin yeni aşamada bir alıştırmaya yer verilir. Bu alıştırmada dört kart vardır. Kartları tanım kümesindeki her nokta için limiti olan veya olmayan fonksiyonlar olarak ayırmaları istenir. Öğrenci cevapları tartışılır. Kartlarda bulunan fonksiyon grafikleri Şekil 10′ da verilmektedir.
Son aşamada, verilen fonksiyonun her noktasında limitinin var olması için fonksiyonun grafiğinin nasıl olması gerektiği öğrenciye sorulur. Öğrenci cevapları tartışılır. Öğrenci Şekil 11’deki doğru parçasını hareket ettirerek farklı fonksiyon grafikleri oluşturabilir. Bu aşamada öğretmenin öğrencilerin oluşturduğu fonksiyon grafiklerini kontrol etmesi ve onlara dönüt vermesi önemlidir.
Şekil 12’de derse ilişkin kısa bir değerlendirmeye yer verilir. Öğrenciye “Bugün işlediğimiz limit konusu sizde hangi duyguları uyandırdı? Nedenini aşağıdaki kutuya yazınız” açıklaması yapılır.
Etkinliğimi siz de düzeltebilir, geliştirebilir ve öğrenciye daha çok örnek sunabilirsiniz.
Desmos’da birçok konuda etkinlik bulabilirsiniz. Örneğin fonksiyon tanımı ve bir fonksiyonun cebirsel ifadesini öğrenciye buldurma ile ilgili bir etkinlik örneğine; https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5e54200051afec695ca0a71a sitesinden ulaşabilirsiniz.
KAYNAKÇA
- E., Ahmet, G., Ahmet, G., Gökhan, K., Mehmet (2019). Ortaöğretim Matematik 12 Ders Kitabı, Ankara.
- Guess My Rule. 14.03.2021 tarihinde teacher.desmos.com. https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5e54200051afec695ca0a71a adresinden alındı.
- Limit. 20.02.2021 tarihinde teacher.desmos.com. https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5fccb8c8fb05360d2988fb9f adresinden alındı.
- What Is a Mathematical Limit?. 15.01.2020 quickanddirtytips.com. http://www.quickanddirtytips.com adresinden alındı.