Genellikle yüksek ortaçağ denilen ve Roma imparatorluğunun çöküşünden 9. yüzyılın sonuna kadar uzanan dönem boyunca, salgınlardan, kıtlıklardan, savaşlardan kırılmış olan Batı Avrupa büyük bir siyasi karışıklığa, iktisadi gerilemeye, aydınlık ve bilim adına karanlığa gömülmüştü. Bu durum Avrupa’yı 1200-1300’lü yıllar arasında Euclid’in, Archimedes’in, Harizmi’nin, El Biruni’nin, İbni Sinan’ın eserlerini öğrenmeye yöneltmiştir. Avrupa’ya cebirin geçisi Harizmi’nin eserleri sayesinde 12. ve 13. yüzyıllarda olmuştur. Avrupa’nın ilk matematikçilerinden olan, İtalyan matematikçi Fibonacci’nin 1202 yılında yazdığı kitapta, başta Harizmi olmak üzere, İslam dünyasının matematik bilgilerinin yaptıkları çalışmalarından etkilendiği belirtilmektedir (Katz, 1998; Ifran, 2003).

Fibonacci, Liber Abaci isimli kitabında, Harizmi, Abu-Kamil ve Al-Karaji’nin kitaplarında çözmüş oldukları problemleri aynen alıp, bu problemler üzerine çalışmıştır. Kitabının son bölümünde Harizmi’nin altı tipe ayırdığı denklemlerin çözümlerini geometrik olarak yapmış, Harizmi ve Abu-Kamilin çözümlerini yaptığı “10 sayısı iki parçaya ayrılıyor” şeklinde başlayan problemlerin çözümleriyle uğraşmıştır. Fibonacci, problem çözümlerinde çeşitli çözüm yöntemleri kullanmıştır. Kullanmış olduğu çözüm yöntemlerinden biri Eski Mısırda kullanılan yanlışı deneme yoludur. Yanlışı deneme yolunu kullanarak çözdüğü bir problem şu şekildedir.

Yükseklikleri sırasıyla 30 ve 40 adım olan, iki kulenin birbirine olan uzaklıkları 50 adımdır. Kulelerin üzerinde duran iki kuş, aynı hızla uçarak yerde bulunan yiyeceğe aynı anda ulaştıklarına göre, yemin kulelere olan uzaklıkları kaçar adımdır”.

Fibonacci, aslan problemi olarak bilinen problemi de yanlışı deneme yolu ile çözmüştür. Problem şu şekildedir:

50 adım derinliğindeki bir çukurdaki aslan, her gün bir adımın yedide biri kadar yükselip, her gece bir adımın dokuzda biri kadar iniyor. Kaç gün sonunda aslan çukurdan çıkar?”.

Fibonacci’nin kullandığı diğer bir çözüm yolu ise iki bilinmeyenin olduğu bir problemde yeni bir bilinmeyen tanımlayarak çözüme ulaşmaya çalışmasıdır. Yeni bir bilinmeyen tanımlama yolunu kullanarak çözüme ulaştığı bir problemi şu şekilde örneklendirebiliriz.

Ahmet ve Cemilin belli miktar paraları vardır. Cemil, Ahmet’e 1 TL verirse paraları eşit oluyor. Ahmet, Cemil’e 1 TL verirse Cemil’in parası Ahmet’in parasının 10 katı oluyor. Buna göre Ahmet ve Cemil’in başlangıçta ne kadar paralarının olduğunu bulunuz?”.

Fibonacci, modern gösterimi $x+1=y–1$ ve $y+1=10(x–1)$ olan problemin çözümünü yaparken $z=x+y$ şeklinde z gibi bir parametre tanımlamıştır. Daha sonra $x+1=frac{1}{2}z$ ve $y+1=$'ye ulaşarak $x$ ve $y$ bilinmeyenlerini $z$ cinsinden yazmıştır. İki eşitliği toplayarak $z+2=frac{31}{32}z$ eşitliğine ulaşmıştır. Buradan $z=frac{44}{9} , x=1frac{4}{9}, y=3frac{4}{9}$ sonucunu elde etmiştir.

Genel olarak o dönem abaküsçülerinin tümü, Harizminin denklemleri sınıflandırmasını ve çözüm yöntemini dikkate alarak cebir ile uğraşmaya yönelmişlerdir. Ancak Maestro Dardi, 1344 yılında yazmış olduğu kitapta bu sınıflandırmayı genişletmiştir. Dardi, $x^3+bx^2+cx=d$ tipindeki denklemleri çözerken eşitliğin sol tarafını, iki sayının toplamının parantez küpü olarak ifade etmeye çalışmıştır. Benzer şekilde Pierro Della Frencesca (1420-1429), Dardi’den daha ileri giderek, beşinci ve altıncı dereceden denklemlerin çözümü ile uğraşmıştır. Abaküsçülük akımı, son abaküsçü Pacioli ile son bulmuştur. Pacioli cebirsel problemlerini büyük bir kısmını Pierro’nun çalışmalarından almıştır. Avrupa’da 16. yüzyıla kadar denklemlerin çözümleri sözel olarak yapılmıştır. İslam dünyasının etkisiyle İtalya’da sürdürülen cebirin gelişimi ilerleyen süreçlerde devam etmiştir. 14. ve 15. yüzyıllar arasında Fransa, Almanya, İngiltere ve Portekiz’de cebir üzerine yapılan çalışmalar Tablo 3’te özetlenmiştir.

Üçüncü dereceden denklemlerin çözümü, 15. yüzyıl ile 16. yüzyılın başına kadar çoğu matematik bilgini için bir uğraş alanı olmuştur. 1500-1515 yılları arasında Bologno üniversitesinde profesör olan Scipione del Ferro (1465-1526), $x^3+cx=d$ tipindeki denklemlerin çözümleri için cebirsel bir yöntem geliştirmiştir. Bilindiği gibi İslam dünyasında sadece pozitif katsayılı denklemler geometrik bir yolla çözülmüş, negatif çözümler dikkate alınmamıştır. Ferro’nun üçüncü dereceden denklemleri doğrusal, pozitif katsayılı ve sabit terimden oluşmaktadır. Ferro ölmeden önce yaptığı çözümleri öğrencisi olan Antonio Marie Fiore (16. yüzyılın ilk yarısı) açıklamıştır. O dönemin İtalyan matematikçilerinden Niccolo Tartaglia (1499-1557), $x^3+bx^2=d$ tipindeki denklemlerin çözümlerini ilk kendisinin keşfettiğini iddia etmiştir. Fiore, halkın huzurunda Tartaglia’ya meydan okumuş, ancak Tartaglia, Fiore’nin yapamadığı üçüncü dereceden denklem çözümlerini doğru olarak yaparak, halkın huzurunda kazandığını ilan etmiştir.
Bir diğer İtalyan matematikçi Gerolamo Cardano (1501-1576), Tartaglia’dan yaptığı çözümleri kendisine anlatmasını istemiştir. Tartaglia, Cardano’ya yaptığı çözümleri yayımlamaması koşuluyla anlatacağını söylemiştir. Tartaglia, üç farklı üçüncü dereceden denklem formunun çözümlerini şiir formatında Cardano’ya açıklamıştır. İlerleyen süreçlerde Cardano, denklem çözümlerinin Tartaglia’dan önce del Ferro tarafından yapıldığını öğrenmiştir. Bu duruma sinirlenen Tartaglia, 1545 yılında yayımladığı Ars Magna sive de Regulis Algebracis isimli eserinde $x3+bx=c$ tipindeki denklemlerin çözümlerini sözel olarak yapmış ve çözümü veren formülü açıklamıştır. Cardano, $x^3±bx=c$ tipindeki denklemlerin çözümlerini modern gösterimiyle;

$x=sqrt[3]{frac{c}{2}+sqrt{(frac{c}{2})^2+(frac{b}{3})^3}}-sqrt[3]{-frac{c}{2}+sqrt{(frac{c}{2})^2+(frac{b}{3})^3}}$

$x=sqrt[3]{frac{d}{2}+sqrt{(frac{d}{2})^2-(frac{c}{3})^3}}+sqrt[3]{frac{d}{2}-sqrt{(frac{d}{2})^2-(frac{c}{3})^3}}$
şeklinde verilmiştir.

Cardano, $(frac{c}{3})^3 > (frac{d}{2})^2$ olduğunda, negatif sayıların karekökünün alınamayacağını düşünerek çözümü yapamamıştır. Cardano, çözümünü yaptığı problemlerin çözüm kümesinde negatif sayıların kareköküne ulaşmıştır. Ancak bunları özel bir sembolle gösterememiştir.

10 sayısı iki parçaya ayrılıyor. Parçaların çarpımı 40 olduğuna göre, her bir parçayı bulunuz?

probleminde çözüm kümesini $5+sqrt{-15} ve 5-sqrt{-15}$ olarak bulmuş, bulduğu sonuçları doğrulamak için iki sonucu çarpmış ve $25+15=40$ sonuca ulaşmıştır. Dolayısıyla hesaplamalarda negatif kökü ilk kullanan matematikçinin Cardona olduğunu söyleyebiliriz.

-6 sayısı iki parçaya ayrılıyor. Parçaların çarpımı 24 olduğuna göre, her bir parçayı bulunuz?

probleminde Cardano,  $-3+sqrt{-15} ve -3-sqrt{-15}$ gibi iki köke ulaşmıştır.  Negatif sayıların karekökü ilk defa M.S. 50’lerde Heron’un çalışmalarında görülmüştür. Yunan matematikçi $336x^2+24=172x$ eşitliğinin kökünü $sqrt{-1,849-2,016}$  olarak bulmuş, ancak sonucu reddetmiştir. Heron gibi, Yunanlı bir diğer matematikçi Diophantus, Hintli matematikçiler Mahavira ve Bhaskara’da, kök içi negatif olan sayıları tanımlayamamışlardır. Avrupa’da Nicolas Chuquet ve Luca Pacioli’de kök içi negatif olan sayıları reddetmişlerdir. Cardano üçüncü dereceden denklemlerle uğraşırken, öğrencisi olan Lodovica Ferrari, dördüncü dereceden denklemlerin çözümlerini yapmayı başarmıştır. Çözümü yaparken öncelikle denklemdeki $x^3$’lü terimleri yok etmiş, ardından eşitliğin sol tarafını iki terimin toplamının karesi şeklinde yazmaya çalışmıştır. Cardano, öğrencisinin yapmış olduğu çözümlere Ars Magna isimli kitabının son bölümünde yer vermiştir.Cardanodan sonra gelen diğer önemli batılı matematikçi Rafael Bombelli (1526-1572)’dir. Bombelli, Cardano’nın formülünden gelen negatif sayıların karekökleri ile uğraşmış, kompleks sayıları özel sembollerle göstermiştir. $x^3+bx^2=d$ tipindeki denklemlerde $(frac{c}{3})^3 > (frac{d}{2})^2$ olduğunda, elde edilen sayıları kendine özgü şekilde adlandırmıştır. $2+3i$ sayısını $2pdim3$,$ 2-3i$ sayısını ise $2mdi m3$ şeklinde yazmıştır. Bombelli yaptığı çözümler esnasında ulaştığı bu sayıları sistematik bir şekilde tanımlayamadığından, bu sayılarla ilgili herhangi bir ispat yapamamıştır. Ancak bu sayıların kullanıldığı dört işlem içeren problemleri kendine özgü yollarla çözmüştür. Örneğin; $sqrt[3]{2+sqrt{-3}}$ sayısının kendisi ile çarpımını aşağıdaki şekilde yapmıştır.

$sqrt{-3}xsqrt{-3}=-3 2x2=4(-3)+4=1 2xsqrt{-3}x2$ Sonuç: $sqrt{-48}$

Bir diğer örnek ise, 1000 sayısını 2+11i sayısına bölerken izlediği yoldur. Çözüme her bir sayıyı 2-11i ile çarparak başlamıştır. Paydada elde ettiği 125 sayısını 1000 sayısına bölerek 8 sayısına ulaşmış, ardından 8 sayısını 2-11i ile çarpmış ve 16-88i sonucunu elde etmiştir. Bombelli, toplama ve çıkarma işlemleri ile ilgili de detaylı çözümler yapmıştır. $x^3=15x+4$ kübik eşitliğinin çözümü, Cardano’nun ortaya koyduğu kurala göre, $x=sqrt[3]{2+sqrt{-121}}+sqrt[3]{2-sqrt{-121}}$ olmaktadır. Buradan çözümün 4 olduğu açık olmasına rağmen, Bombelli çözümü, tanımladığı yeni sayılar çerçevesinde çözmüştür. $sqrt[3]{2+sqrt{-121}}=a+sqrt{-b}$ ve $sqrt[3]{2-sqrt{-121}}=a-sqrt{-b}$ dönüşümlerini yaparak, $a^2+b=5$ ve $a^3-3ab=2$ denklemlerine ulaşmıştır. Denklemlere dayalı olarak, $a^22$ olarak düşünmüş, buradan a sayısının ancak 2 olabileceği sonucuna ulaşmıştır. a=2’den b=1 bularak, ve b’yi yerlerine yazmıştır. $x=(2+sqrt{-1})+(2-sqrt{-1})$’den $x=4$ sonucuna ulaşmıştır. Bombelli, ikinci dereceden denklemlerin çözümlerinin yapılmasında karmaşık sayıların nasıl kullanılabileceğini de göstermiştir. Kompleks sayıların kullanımı ile ilgili tüm sorulara cevap verememesine karşın, problem çözümlerinde kompleks sayıları kullanma yeteneği, kendinden sonra gelen matematikçiler için ilham kaynağı olmuştur. 15. yüzyılın sonlarına gelindiğinde negatif sayıların kullanımında yaşanan sıkıntılar, Cardano’nun negatif sayılar için “gerçek olmayan” kavramını kullanması, Bombelli’nin negatif sayıları kök olarak kabul etmemesi, kompleks sayıların matematiğe girişinin uzun zaman almasına neden olmuştur.

Newton, Descartes ve Euler zamanında, kompleks sayılarla cebirsel şekilde uğraşılmaya devam edilmiştir. Descartes, 1637 yılında kompleks sayıların isimlendirmesine katkılar sağlayarak, gerçek (real) ve sanal (imaginary) kavramlarını ortaya atmıştır. Euler, 1748 yılında $sqrt{-1}$ sayısını “$i$” ile göstermiştir. Kompleks sayıların grafiksel gösterimlerini yapan ilk matematikçiler ise, Caspar Wessel ve Jean Robert Argant olmuştur. Ancak yaptıkları gösterimler matematikçiler arasında çok da ilgi uyandırmamıştır. Wessel, $1,–1,sqrt{-1},-sqrt{-1}$’in çarpım tablosunu yapmış, Wessel ve Argand, $i$ sayısını tanımlamak amacıyla geometrik gösterimlerden yararlanmışlardır. Wessel ve Argand’ın yaptıkları gösterimler aşağıda verilmiştir.

 

 

 

Şekil 10’da görüldüğü gibi, Wessel, ε sayısını $sqrt{-1}$  alarak, 1, –1, ε ve –ε’nin çarpım tablosunu yapmıştır. Şekil 11’den Wessel ve Argant’ın $d_{1}=+1, d_{2}=-1$ olarak kabul ettikleri, R açısı dik açı olmak koşuluyla, $d$ sayısını $d=sqrt{+1.-1}=sqrt{-1}=i$  olarak tanımladıkları anlaşılmaktadır. Kompleks sayılar Gauss’la birlikte sistematik bir yapıya kavuşmuştur. Gauss, kompleks sayıların günümüz şekliyle özelliklerini tanımlayarak, işlemler yapmış, kompleks sayıları koordinat ekseninde göstermiştir. 1831 yılında, kompleks sayıları sıralı ikililer olarak göstererek, $(a,b).(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$ eşitliğini ortaya koymuştur. Gauss, $x$ eksenini reel eksen, $y$ eksenini hayali eksen olarak ifade ederek, karmaşık sayıları tanımlamış ve karmaşık sayıları $a+bi$ biçiminde göstermiştir. Matematikte, bir karmaşık sayının reel ve sanal kısımlarının her ikisi de rasyonel sayı olduğunda bu karmaşık sayı, “Gauss rasyonelleri” (Gaussian rationals) $Q(i)$, karmaşık sayının reel ve sanal kısımlarının her ikisi de tamsayı ise, bu karmaşık sayı, “Gauss tamsayıları” (Gaussian integers) olarak ifade edilmektedir.

Avrupa, İslam dünyasında cebir üzerine ortaya koyulan eserleri inceledikten ve özümsedikten sonra, Avrupa’da cebirsel gösterimlerde sembolik döneme geçişin adımlarının atıldığı görülecektir. Ancak bu geçiş bir anda olmamıştır. Cebirsel gösterimlerde sembolik döneme 15. yüzyılın sonlarında Fransız matematikçi Viete (1540-1603) ile geçilmiştir. Viete 1591 yılında bilinmeyenleri göstermek için büyük ünlü harflerden A, E, I, O ve U’yu kullanmıştır.  Bilinmeyen olarak A’yı tercih ettiğinde, $A^2$’yi Aq, $A^3’ü ve Acu ve $A^4$’ü ise Aqq biçiminde göstermiştir. Çarpma için “in” kelimesini, bölüm için kesir çizgisini kullanmıştır. Modern gösterimi $frac{AB}{c^2}$ olan matematiksel ifadeyi, $frac{AinB}{cqq}$ şeklinde yazmıştır. Karekök için L harfini, küp kök için ise LC harflerini kullanmıştır.

Viete,  $A-B$ kere $A+B$’nin eşitini $A^2–B^2$ olarak ifade etmiş ve $(A+B)^2-(A-B)^2=4AB$ eşitliğine ulaşmıştır. $(A+B)^n$ açılımını n=2, 3, 4, 5 ve 6 sayıları için yapabilmiştir. Ancak buradan bir genellemeye ulaşamamıştır. Viete’nin genellemeye ulaşamamış olması, tamsayıların kuvvetlerini harflerle ifade etmesine bağlanmaktadır. $A-B’yi A^2+AB+B^2, A^3+A^2B+AB^2+B^3$’…ile çarparak,  $A^3– B^3, A^4-B^4,...A^6-B^6$ ’yı elde etmiştir. Ancak benzer şekilde bir genellemeye ulaşamamıştır. Viete, on üç farklı üçüncü dereceden denklem biçiminin her biri için ayrı çözüm yolları vermek yerine, bu denklemleri, Cardano ve Bombelli gibi ikinci dereceden hiçbir terim olmayacak şekilde yazmıştır. Viete, çözümlerini Cardano ve Bombelli’den farklı şekilde yapmıştır. Homojenlik kuralı (devamlılık gösteren dört oranın varlığına dayanır) ve $(r+s)^3$ ’nün açılımı çözüm yollarından ikisidir. Viete, $x^3-3bx=d$ kübik eşitliğini çözerken, $x=r+s, b=r.s$ olarak düşünmüş ve $d=r^3+s^3$ eşitliğini elde etmiştir. $x^3–6x=9$ eşitliğinde $3b=6$ olduğundan b sayısını 2 olarak bulmuştur. Yani $r.s=2$’dir. $d=9$ olduğundan $r^3+s^3=9$’dur. Buradan r ve s sayılarının 1 ve 2 olabileceğini ifade ederek $x=r+s=3$ sonucuna ulaşmıştır. Viete, $x^3–3bx=d$ tipindeki denklemleri çözerken  $(r+s)^3- (r^2+s^2+rs )(r+s )=rs(r+s)$ eşitliğinden de yararlanmıştır. $x^3–21x=20$ eşitliğini çözerken, $r^2+s^2+rs=21 ve rs(r+s)=20$ şeklinde eşitlikleri düzenlemiş, r ve s değerlerinin 1 ve 4 olabileceğini ifade etmiş, buradan x değerini 5 olarak bulmuştur.

1637 yılında Descartes (1596–1650), bugün bizim kullandığımıza benzer semboller  kullanmıştır. Descartes, bilinmeyenleri x, y ve z olarak ifade etmiş, $x^2$’yi xx, $x^3$ ’ü ise xxx olarak yazmış, eşittir sembolünü ise günümüzden farklı olarak sembolü ile göstermiştir. Bir polinomun x-a ile bölümünün standart yönteminin ayrıntılı açıklaması ilk defa  Descartes’in Geometri kitabında yer almaktadır. Descartesin matematiğe en büyük katkısı koordinat düzlemini tanımlaması olmuştur. Descartes ayrıca denklemlerin çözümleri kullanılarak, denklemlerin nasıl yazılacağını açıklamıştır. Örneğin; kökü 2 olan denklemin $x-2=0$, kökü 3 olan denklemin ise $x-3=0$ olarak yazılabileceğini, dolayısıyla kökleri 2 ve 3 olan denklemin, bu eşitliklerin çarpımı olan $x^2–5x+6=0$ olduğunu ifade etmiştir. Descartes ayrıca bugün bildiğimiz işaretler kuralını, ispatını yapmadan açıklamıştır. Örneğin, $x^4–4x^3–19x^2=+106x–120=0$  eşitliğinde işaretlerin -, +, - olmak üzere üç kez değiştiğini belirterek, eksilerin ardışık olarak bir kez devam ettiğine dikkati çekmiş ve eşitliğin üç doğru (pozitif) kökü, bir yanlış (negatif) kökü olabileceğini belirtmiştir. Gerçekten de, eşitliğin kökleri, 2, 3, 4 ve -5’tir. Descartes, üçüncü kitabının son bölümünde üçüncü ve dördüncü dereceli denklemlerin çözümlerini parabol ve çemberin kesişim noktalarından hareketle İslam dünyası matematikçilerinden Ömer Hayyam’a benzer şekilde yapmıştır. Ancak Descartes denklemlerin yanlış (negatif) köklerinin de olabileceğini fark etmiştir.

Artı (+) ve Eksi (-) işaretleri, ilk defa Alman matematikçi Widman’ın 1489 yılında  yayımladığı Commercial Arithmetic adlı eserinde görülmüştür. Çarpma (x) sembolü ilk defa 1600’lü yıllarda İngiliz matematikçi William Oughtred tarafından gösterilmiştir. Aynı matematikçi oranı : :  şeklinde göstermiştir. Eşittir (=), sembolü 1557 yılında İngiliz matematikçi Recorde’nin kitabı The Whetstone of Witte isimli kitabında tanıtılmıştır. Karekök sembolü ($sqrt{ }$ ) ise ilk defa 1525 yılında Christoff Rudolff tarafından Die Coss isimli cebir kitabında gösterilmiştir. Kök sembolü, Latincede kök anlamına gelen radix sözcüğünün ilk harfi olan $r$ harfine benzemektedir.

On yedinci yüzyılda Fermat’ın sayı teorisi üzerine yaptığı çalışmalar, Newton’un analiz üzerine yaptığı çalışmalar, sözel problemleri sembolik dilde yazarak çözümü ve Binom  teoremi, Maclaurin’in lineer denklem sistemlerini yok etme metoduyla çözümüştür. Bu  yöntem bugün Cramer kuralı olarak bilinmektedir. Gabriel Cramer (1704-1752), Langrange  (1736-1813)’nin denklemler teorisi, Galois(1811-1832)’in cebirsel denklemler teorisi, Euler  (1707-1783) ve Gauss (1777-1855)’un karmaşık sayıları düzlemde noktalar olarak göstermesi ve analiz üzerine yaptıkları çalışmalar cebirin günümüzdeki şekline kavuşmasında yardımcı olmuştur.

 

 

Bu yazı Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi'nden Adnan BAKİ ve Suphi Önder BÜTÜNER'e ait "CEBİRİN TARİHSEL GELİŞİMİ"  başlıklı makaleden alınmıştır. Formata uyması için referanslar kaldırılmıştır. Makalenin orijinali ve tüm referansları Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi sitesinde yayınlanmaktadır.